На пружине колеблется груз массой m=800 г с частотой V1=0.6 Гц. Когда к нему повесили дополнительный груз △m, частота колебаний стала ровной V2=0.45 Гц. Чему равна масса дополнительного груза?
Чтобы найти массу дополнительного груза, мы можем воспользоваться законом Гука, который устанавливает связь между массой груза, его силой упругостью и периодом колебаний.
Закон Гука: F = k * x,
где F - сила упругости, k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение от равновесного положения.
В данной задаче сила упругости и коэффициент жесткости пружины не меняются, поэтому можем записать:
F1 = F2,
k * x1 = k * x2,
где F1 и F2 - силы упругости для каждого случая, x1 и x2 - смещения от равновесного положения для каждого случая.
Также, можно использовать формулу для периода колебаний:
T = 1 / V,
где T - период колебаний, V - частота колебаний.
В нашем случае, период колебаний будет обратно пропорционален частоте колебаний:
T1 = 1 / V1,
T2 = 1 / V2.
Для каждого случая, период колебаний связан с массой груза следующим образом:
T1 = 2π * √(m / k),
T2 = 2π * √((m + △m) / k).
Мы можем использовать эти формулы для нахождения массы дополнительного груза. Подставим значения периода колебаний и частоты колебаний в формулы:
2π * √(m / k) = 1 / V1,
2π * √((m + △m) / k) = 1 / V2.
Раскроем формулы:
√(m / k) = 1 / (2π * V1),
√((m + △m) / k) = 1 / (2π * V2).
Избавимся от корня и возводим обе части уравнений в квадрат:
Закон Гука: F = k * x,
где F - сила упругости, k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение от равновесного положения.
В данной задаче сила упругости и коэффициент жесткости пружины не меняются, поэтому можем записать:
F1 = F2,
k * x1 = k * x2,
где F1 и F2 - силы упругости для каждого случая, x1 и x2 - смещения от равновесного положения для каждого случая.
Также, можно использовать формулу для периода колебаний:
T = 1 / V,
где T - период колебаний, V - частота колебаний.
В нашем случае, период колебаний будет обратно пропорционален частоте колебаний:
T1 = 1 / V1,
T2 = 1 / V2.
Для каждого случая, период колебаний связан с массой груза следующим образом:
T1 = 2π * √(m / k),
T2 = 2π * √((m + △m) / k).
Мы можем использовать эти формулы для нахождения массы дополнительного груза. Подставим значения периода колебаний и частоты колебаний в формулы:
2π * √(m / k) = 1 / V1,
2π * √((m + △m) / k) = 1 / V2.
Раскроем формулы:
√(m / k) = 1 / (2π * V1),
√((m + △m) / k) = 1 / (2π * V2).
Избавимся от корня и возводим обе части уравнений в квадрат:
m / k = (1 / (2π * V1))^2,
(m + △m) / k = (1 / (2π * V2))^2.
Далее, разделим два уравнения:
(m + △m) / m = [(1 / (2π * V2))^2] / [(1 / (2π * V1))^2],
(m + △m) / m = V1^2 / V2^2.
Перенесем массу на одну сторону и дополнительную массу на другую:
(m + △m - m) / m = V1^2 / V2^2 - 1,
△m / m = V1^2 / V2^2 - 1.
Теперь, найдем значение дополнительной массы:
△m = m * (V1^2 / V2^2 - 1).
Подставим данные из условия задачи:
m = 800 г = 0.8 кг,
V1 = 0.6 Гц,
V2 = 0.45 Гц.
△m = 0.8 кг * (0.6 Гц / 0.45 Гц)^2 - 1).
Выполняем вычисления:
△m = 0.8 кг * (1.333)^2 - 1.
△m ≈ 0.8 кг * 1.777 - 1.
△m ≈ 1.422 - 1.
△m ≈ 0.422 кг.
Таким образом, масса дополнительного груза составляет приблизительно 0.422 кг.