Question

Горизонтальный цилиндр, закрытый с обоих концов, разделен на две части с термоизолированного поршня двигаться без трения. В обеих частях находятся одинаковые массы газа при температурах 300 K и 450 K соответственно. Определить отношение объемов частей, на которые разделен цилиндр поршнем полное решение

Answer 1

Объяснение:

Обозначим:

V1 = 36 см³ и P1 = 200 кПа – начальные объём и давление в 1-ой секции ;

V2 = 60 см³ и P2 = 60 кПа – начальные объём и давление во 2-ой секции ;

V3 = 104 см³ и P3 = 50 кПа – начальные объём и давление в 3-ей секции ;

V1к, V2к и V3к – конечные объёмы в каждой секции ;

Pк – конечное давление, уравновешенное во всех секциях ;

В каждой секции начальное и конечное состояния лежат на общей для всех изотерме, на этом основании можно составить 3 уравнения:

Pк V1к = P1 V1 ;

Pк V2к = P2 V2 ;

Pк V3к = P3 V3 ;

Выразим из этих уравнений все кончные объёмы:

V1к = V1 P1/Pк ;

V2к = V2 P2/Pк ;

V3к = V3 P3/Pк ;

Сумма всех конечных объёмов равна сумме начальных объёмов:

V1к + V2к + V3к = V1 + V2 + V3 ;

V1 P1/Pк + V2 P2/Pк + V3 P3/Pк = V1 + V2 + V3 ;

( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) / Pк = V1 + V2 + V3 ;

Откуда найдём конечное давление:

Pк = ( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) / ( V1 + V2 + V3 ) ;

Pк ≈ ( 36*200 + 60*60 + 104*50 ) / ( 36 + 60 + 104 ) = 160 / 2 = 80 кПа .

А отсюда уже легко найти и конечные объёмы секций:

V1к = V1 P1/Pк = V1 P1 ( V1 + V2 + V3 ) / ( V1 P1 + V2 P2 + V3 P3 ) ;

V1к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V2 P2 + V3 P3 ) / ( V1 P1 ) ) ;

V1к ≈ 200 / ( 1 + ( 60*60 + 104*50 ) / ( 36*200 ) ) = 90 см³ ;

аналогичо: V2к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V1 P1 + V3 P3 ) / ( V2 P2 ) ) ;

V2к ≈ 200 / ( 1 + ( 36*200 + 104*50 ) / ( 60*60 ) ) = 45 см³ ;

и: V3к = ( V1 + V2 + V3 ) / ( 1 + ( V1 P1 + V2 P2 ) / ( V3 P3 ) ) ;

V3к ≈ 200 / ( 1 + ( 36*200 + 60*60 ) / ( 104*50 ) ) = 65 см³ ;

Заметим, что: V1к + V2к + V3к = 200 см³ = V1 + V2 + V3 , как это очевидно, и должно быть, так что простую проверку решение легко проходит.