Question

Ребят . Желательно с подробным решением 3. Экспериментатор стоит на скамье Жуковского и держит в руках вертикальную ось
свободно вращающегося колеса, имеющего момент инерции I, относительно этой оси.
Колесо вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью о. Момент инерции
скамьи Жуковского и экспериментатора вокруг вертикальной оси равен 1. Ось колеса и
скамьи Жуковского лежат на одной прямой. Как изменится кинетическая энергия всей
системы, если экспериментатор повернет ось колеса на 90°?

Answer 1

Дано:

I1, I2, ω1, α = 90°

ΔEк - ?

Сначала вращается только колесо. Все точки колеса движутся по окружности за счёт центростремительной силы Fцс. Однако по отношению к оси АА' момент этой силы равен нулю, т.к. сила Fцс направлена перпендикулярно через эту ось - её плечо равно нулю. На скамью Жуковского никакие силы, кроме вертикальных (сила реакции пола N и сила тяжести человека mg), не действуют. Моменты этих вертикальных сил также равны нулю, т.к. они сонаправлены с осью АА' - они не стремятся повернуть скамью вокруг этой оси. Всё это согласуется с законом сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т.е. момент импульса системы остаётся неизменным:

ΔL = 0, L = const.

Система тел (скамья-человек-колесо) в начальный момент наблюдения имеет момент импульса, равный моменту импульса колеса (т.к. скамья с человеком не вращается):

L1 = L(к) = I1*ω1

После поворота оси вращающегося колеса момент импульса системы должен остаться неизменным, т.е. равным L1. И действительно, при повороте оси колеса на угол α = 90° к оси АА' проекция момента импульса L1 на ось Y (Y = АА') равна:

L1(y) = L1*cosα = L1*cos90° = L1*0 = 0

А скамья с человеком приходит во вращение, и её момент импульса равен:

L2 = L1

L2 = I2*ω2 => I2*ω2 = I1*ω1 (***)

Для того, чтобы узнать изменение кинетической энергии системы, найдём кинетическую энергию системы до и после изменения положения оси колеса. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, её составляющих:

Ек1 = I1*ω1²/2 + I2*ω2²/2 = I1*ω1²/2 + 0 = I1*ω1²/2

Ек2 = I1*ω1²/2 + I2*ω2²/2

ΔЕк = Ек2 - Ек1 = (I1*ω1²/2 + I2*ω2²/2) - I1*ω1²/2 = I2*ω2²/2

Выразим угловую скорость ω2 из (***):

I2*ω2 = I1*ω1

ω2 = I1*ω1/I2 - подставим в уравнение для ΔЕк:

ΔЕк = I2*ω2²/2 = (I2/2)*(I1*ω1/I2)² = (I2/2)*(I1²*ω1²/I2²) = I1²*ω1²/(2*I2)

Очевидно, что изменение кинетической энергии системы положительно, т.е. при повороте оси колеса на 90° кинетическая энергия системы увеличилась.