Question

Деревянный параллелепипед массой 1.3 кг с площадью основания 0.05 м2 плавает на поверхности воды (плотность воды – 1000 кг/м3). его слегка утапливают и резко отпускают. определите период колебания (в с) колебания параллелепипеда. ускорение свободного падения 10 м/с2. ответ округлите до сотых.

Answer 1

Высоту "ватерлинии" поплавка относительно поверхности воды обозначим как y. Когда поплавок в равновесии, y=0, а когда всплывает, y>0. Пусть нижняя грань поплавка в состоянии равновесия находится на глубине $h_0$. Тогда в процессе движения глубина погружения поплавка $h=h_0-y$.
На поплавок действуют сила тяжести, направленная вниз, и сила Архимеда, направленная вверх. Напишем уравнение движения по второму закону Ньютона: $ma = F_A - mg$, где $a$ - ускорение поплавка по вертикали, $a=\ddot{y}$. Сила Архимеда равна весу воды вытесенной погруженной частью поплавка, т.е. $F_A=\rho gSh$. Отсюда $m\ddot{y} = \rho gS(h_0-y) - mg$. Так как в покое сила Архимеда и сила тяжести уравновешиваются, $\rho gSh_0 = mg$, то $m\ddot{y} = -\rho gSy$. Выражаем ускорение: $\ddot{y} = -\frac{\rho gS}{m}y$. Это является уравнением колебаний с собственной частотой $\omega = \sqrt{\frac{\rho gS}{m}}$. Осюда период колебаний: $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho gS}}=0.32$ с.