Question

Участок AB электрической цепи показанной на рисунке состоит из резисторов с известными сопротивлениями r, r, 2r и проводами с неизвестным сопротивлением Rx. Определи сопротивление Rx, если известно что полное сопротивление участка AB уменьшается в 1,5 раза при замыкании ключа k.

Answer 1

Сопротивление может уменьшиться только когда по какому либо резистору перестаёт течь ток. В данном случае это означает, что либо по Rx перестал течь ток (весь ток течёт по R и, как следствие R = 0, иначе бы ток делился и оба резистора были бы задействованы), либо по правому резистору R перестал течь ток (весь ток течёт по Rх и, как следствие Rх = 0, иначе бы ток делился и оба резистора были бы задействованы). Очевидно, что первый (1) вариант невозможен, тк при условии, что R=0 вся задача теряет смысл (тогда Ro1 при незамкнутом ключе равен 0 и следовательно не может уменьшиться), так что верен второй (2) вариант и Rx=0.

На всякий случай докажем это математически:

(1) :

Ro1 = (2R+Rx)*2R/(4R+Rx)

Ro2 = 2R*2R/4R = R

1.5(4R+Rx) = 2R+Rx = 6R + 1.5Rx

Rx = -8R - вырожденный случай значит ложь

(2) :

Ro1 = (2R+Rx)*2R/(4R+Rx)

Ro2 = (2R+Rx)*R/(3R+Rx)

1.5(2R+Rx)(4R+Rx) = 2(2R+Rx)(3R+Rx)

Rx(2R+Rx) = 0 => либо Rx=0 либо Rx=-2R (вырожденный случай) => Rx=0 и этот вариант верен

PS: если напрямую посчитать общие сопротивления полагая, что Rx=0, то все численно сходится Ro1 = R, Ro2 = 2R/3 = Ro1/1.5