Question

Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять диаметр атома
݀d = 0,1 нм.

Answer 1

Хорошо, давайте рассмотрим вопрос оценки низшего энергетического уровня электрона в атоме водорода с использованием соотношения неопределенностей.

Соотношение неопределенностей, которое нам потребуется, гласит:

Δp * Δx >= h / (4π)

Где Δp - неопределенность импульса, Δx - неопределенность положения, h - постоянная Планка.

Для нашего случая, мы можем связать радиус атома с его диаметром следующим образом:

r = ݀d / 2

Зная радиус атома, мы можем оценить неопределенность положения электрона, которая будет равна половине диаметра атома:

Δx = r = ݀d / 2

Теперь, мы можем рассмотреть импульс электрона. Для электрона в атоме водорода, мы можем использовать следующее соотношение:

p = mv

Где p - импульс электрона, m - его масса и v - его скорость.

Мы знаем, что электрон движется по орбите с некоторой скоростью v. Радиус этой орбиты также известен и равен радиусу атома.

Теперь мы можем записать соотношение неопределенностей для атома водорода:

Δp * Δx >= h / (4π)

Δp * (݀d / 2) >= h / (4π)

Теперь мы можем оценить неопределенность импульса. Заметим, что электрон движется по круговой орбите, поэтому его импульс будет равен:

p = mv = (m * 2πr) / (2πT) = m*r / T

Где T - период обращения электрона вокруг ядра.

Теперь мы можем записать оценку неопределенности импульса:

Δp = m*Δv = m*Δ(r / T)

Там, где Δv - неопределенность скорости, Δ(r / T) - неопределенность радиуса орбиты.

Рассмотрим оценку Δ(r / T). Запишем радиус орбиты и период обращения электрона через диаметр атома и скорость света c:

r = (݀d / 2)
T = 2πr/v = 2π(݀d / 2)/v = π ݀d / v

Теперь мы можем оценить Δ(r / T):

Δ(r / T) = (Δr) / T + r * (ΔT) / (T^2) = (Δr) / T + r * Δv / v^2

Таким образом, мы получаем оценку для неопределенности импульса:

Δp = m * Δ(r / T) = m * [(Δr) / T + r * Δv / v^2]

Теперь мы можем записать наше соотношение неопределенностей с использованием оценок для неопределенностей импульса и положения:

m * [(Δr) / T + r * Δv / v^2] * (݀d / 2) >= h / (4π)

Теперь мы можем вставить значения, чтобы получить числовую оценку.

Принимая массу электрона, m = 9.1 * 10^-31 кг, скорость света, c = 3 * 10^8 м/c, и постоянную Планка, h = 6.63 * 10^-34 Дж∙с:

9.1 * 10^-31 * [(݀d) / (2 * π * ݀d / c) + (݀d / 2) * Δv / (c^2)] * (݀d / 2) >= 6.63 * 10^-34 / (4 * π)

Упростим это выражение:

(9.1 * 10^-31 * ݀d^2 * c) / (4 * π * ݀d ) + (9.1 * 10^-31 * ݀d * Δv ) / (8 * π * c) >= 6.63 * 10^-34 / (4 * π)

Теперь мы можем использовать оценку для диаметра атома, ݀d = 0,1 нм = 10^-10 м, и решить это уравнение численно.

Подставим значения:

(9.1 * 10^-31 * (10^-10)^2 * 3 * 10^8) / (4 * π * 10^-10 ) + (9.1 * 10^-31 * 10^-10 * Δv ) / (8 * π * 3 * 10^8) >= 6.63 * 10^-34 / (4 * π)

Упростим это выражение:

[(9.1 * 10^-31 * 9 * 10^-18 * 3 * 10^8) / (4 * π * 10^-10)] + [(9.1 * 10^-31 * 10^-10 * Δv) / (8 * π * 3 * 10^8)] >= 6.63 * 10^-34 / (4 * π)

[(2.07 * 10^-9) / (12.6 * 10^-10)] + [(2.56 * 10^-10 * Δv) / (8 * π * 3 * 10^8)] >= 0.525 * 10^-34

1.64 + [(2.56 * 10^-10 * Δv) / (8 * π * 3 * 10^8)] >= 2.91 * 10^-35

[(2.56 * 10^-10 * Δv) / (8 * π * 3 * 10^8)] >= 2.91 * 10^-35 - 1.64

(2.56 * 10^-10 * Δv) / (8 * π * 3 * 10^8) >= 2.74 * 10^-35

Умножим обе стороны на (8 * π * 3 * 10^8) и поделим на 2.56:

Δv >= (2.74 * 10^-35 * 8 * π * 3 * 10^8) / (2.56)

Δv >= 8.14 * 10^11 м/c

Итак, оценка неопределенности скорости электрона равна приблизительно 8.14 * 10^11 м/c.

Теперь, зная неопределенность скорости, мы можем использовать формулу для энергии электрона в атоме водорода:

E = (mv^2) / 2

Подставим значения массы электрона и неопределенности скорости:

E = (9.1 * 10^-31 * (8.14 * 10^11)^2) / 2

Упростим это выражение:

E = (9.1 * 10^-31 * 6.65 * 10^23) / 2

E = 2.98 * 10^-9 Дж

Таким образом, оценка низшего энергетического уровня электрона в атоме водорода составляет примерно 2.98 * 10^-9 Дж.