Question

Автомобиль проехал треть пути со скоростью v = = 46 км/ч. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всём пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью 2v. Определите максимальную скорость автомобиля.

Answer 1

Дано:

S₁ = (1/3)*S

υ₁ = 46 км/ч

t₂ = (1/4)*t

υ₂ = 1,5*υ_cр

υ₃ = 2*υ₁

υ_max - ?

Для решения будем использовать формулу средней скорости:

υ_cр = S/t, где S - весь путь, а t - всё время

Нам нужно понять, что будет удобно использовать, чтобы составить какое-то осмысленное уравнение. Поразмышляем над промежутками времени, которые затратил автомобиль на каждый из участков пути.

Время первого:

t₁ = S₁/υ₁ = (1/3)*S/υ₁

Второго:

t₂ = S₂/υ₂ = S₂/1,5*υ_cр

Третьего:

t₃ = S₃/υ₃ = S₃/(2*υ₁)

Если теперь сложить всё время, то получится:

t = t₁ + t₂ + t₃ = (1/3)*S/υ₁ + S₂/1,5*υ_cр + S₃/(2*υ₁)

Кроме того, общее время равно:

t = S/υ_cр =>

=> S/υ_cр = (1/3)*S/υ₁ + S₂/1,5*υ_cр + S₃/(2*υ₁)

Пока ничего простого не вырисовывается: мы не знаем ни S, ни того, сколько составляет каждый из участков S₂ и S₃. Но мы знаем, сколько времени затратил автомобиль на участок S₂ - четверть общего. Скорость на этом участке тоже известна. А ещё мы знаем, что после того, как машина проехала треть всего пути, ей оставалось проехать путь, равный:

S₂ + S₃ = S - S₁ = S - (1/3)*S = S*(1 - 1/3) = (2/3)*S

Обратим внимание, что в левой части мы можем заменить S₂ на выражение:

S₂ = υ₂*t₂ = 1,5*υ_cр*(1/4)*t = 1,5*υ_cр*(1/4)*(S/υ_cр) = 1,5*υ_cр*S/(4*υ_cр) = 1,5*S/4

Хорошо. А что насчёт S₃? Можем ли мы как-то выразить его? Попробуем:

S₃ = υ₃*t₃ = 2*υ₁*t₃

Время t₃ можем представить как разность общего времени и суммы промежутков t₁ и t₂:

t₃ = t - (t₁ + t₂) = S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*t) = S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр) - получается:

S₃ = 2*υ₁*t₃ = 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр))

Отлично. Мы получили два выражения для суммы оставшихся промежутков:

S₂ + S₃ = (2/3)*S

S₂ + S₃ = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр))

Если теперь их сравнить, то получим вполне осмысленное уравнение, из которого легко убирается S и выражается средняя скорость:

(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр) = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - (1/3)*S/υ₁ - (1/4)*S/υ_cр)

(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*S/υ_cр - 2*υ₁*(1/3)*S/υ₁ - 2*υ₁*(1/4)*S/υ_cр

(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*S/υ_cр - (2/3)*S - (1/2)*υ₁*S/υ_cр - теперь делим обе части уравнения на S:

2/3 = 1,5/4 + 2υ₁/υ_cр - 2/3 - (1/2)*υ₁/υ_cр - переносим числа влево:

2/3 - 1,5/4 + 2/3 = 2υ₁/υ_cр - (1/2)*υ₁/υ_cр

4/3 - 1,5/4 = (2υ₁ - (1/2)υ₁)/υ_cр

(16 - 4,5)/12 = υ₁*(2 - 1/2)/υ_cр

11,5/12 = 1,5υ₁/υ_cр - выражаем υ_cр:

υ_cр = 1,5υ₁ : (11,5/12) = 1,5υ₁*12/11,5 = 1,5*46*12/11,5 = 72 км/ч

Теперь находим все неизвестные скорости и сравниваем:

υ₁ = 46 км/ч

υ₂ = 1,5*υ_cр = 1,5*72 = 108 км/ч

υ₃ = 2*υ₁ = 2*46 = 92 км/ч, получается, что:

υ₁ < υ₃ < υ₂ => υ₂ = υ_max = 108 км/ч

Предположим, что путь равен 300 км. Тогда общее время равно:

t = S/υ_cр = 300/72 = 4,16666... = 4,17 часа

Промежуток времени t₂ равен четверти всего времени:

t₂ = (1/4)*t = 1,4*4,17 = 1,0425 часа

t₁ найдём из формулы:

S₁ = υ₁*t₁ => t₁ = S₁/υ₁ = (1/3)*S/υ₁ = (1/3)*300/46 = 100/46 = 2,1739... = 2,17 часа

Тогда t₃ = t - (t₁ + t₂) = 4,17 - (2,17 + 1,0425) = 0,9575 часа

Найдём все участки пути:

S₁ = (1/3)*S = 300/3 = 100 км

S₂ = υ₂*t₂ = 108*1,0425 = 112,59 = 112,6 км

S₃ = υ₃*t₃ = 92*0,9575 = 88,09 = 88 км

Сложим:

100 + 112,6 + 88 = 300,6 - погрешность в 0,6 обусловлена округлением общего времени и округлением промежуточных результатов. А так всё сходится.

ответ: 108 км/ч.