На ровном склоне горы, наклон которого к горизонту α=30∘, на высоте h=20 м друг над другом находятся два школьника. Они одновременно бросают камни с одинаковыми скоростями: нижний — перпендикулярно склону, верхний — в горизонтальном направлении. На каком минимальном расстоянии друг от друга пролетят камни, если вплоть до момента максимального сближения они ещё будут находиться в воздухе? ответ выразите в м, округлив до десятых. Сопротивлением воздуха пренебречь.
d = v₀ * t + 1/2 * a * t²,
где:
d - расстояние, пройденное телом,
v₀ - начальная скорость тела,
t - время,
a - ускорение (в данном случае горизонтальное ускорение, равное 0).
Для решения задачи нам понадобятся две формулы времени полета тела в горизонтальном и вертикальном направлениях:
t_h = sqrt(2 * h / g),
t_α = sqrt(2 * h / (g * sin(α))).
где:
g - ускорение свободного падения (примерное значение 9.8 м/с²),
α - угол наклона склона горы,
h - высота.
Для решения задачи мы загадываем расстояние, на котором происходит максимальное сближение камней (d_max). Разность времен полета камней в горизонтальном и вертикальном направлениях составит:
Δt = t_h - t_α
Далее мы можем запиcать координаты каждого камня в момент времени тօа (когда происходит максимальное сближение):
x_1 = v_h * t_h
x_2 = vₐ * t_α
где:
v_h - горизонтальная скорость камня,
vₐ - вертикальная скорость камня.
Так как расстояние максимально близкое камней равно d_max и камни движутся только в горизонтальном направлении, то:
d_max = x_1 - x_2
Подставляя значения в выражение для d_max, получаем:
d_max = v_h * sqrt(2 * h / g) - vₐ * sqrt(2 * h / (g * sin(α))).
Мы хотим найти минимальное расстояние, при котором камни все еще будут в воздухе, начиная с момента максимального сближения. Это означает, что скорости камней будут равны нулю на одной и той же высоте (H), так как они будут находиться в состоянии покоя и свободно падать под действием силы тяжести. Зная эти условия, можно записать:
vₕ = g * t_h,
vₐ = g * sin(α) * t_α.
Подставляя значения для vₕ и vₐ, получаем:
d_max = g * sqrt(2 * h / g) * sqrt(2 * h / g)- g * sin(α) * sqrt(2 * h / (g * sin(α))) * sqrt(2 * h / (g * sin(α))).
Упрощая выражение, получаем:
d_max = g * sqrt(2 * h / g) - g * sin(α) * sqrt(2 * h / (g * sin(α))).
Теперь мы можем численно решить задачу, подставив значения для α и h:
d_max = 9.8 * sqrt(2 * 20 / 9.8) - 9.8 * sin(30) * sqrt(2 * 20 / (9.8 * sin(30))).
Расчитывая выражение, получаем:
d_max ≈ 31.1 м
Таким образом, минимальное расстояние, на котором пролетят камни до момента максимального сближения, составляет около 31.1 метра.