Question

Нагреватель может нагреть 10 г воды от 10 градусов до 100 градусов каждую минуту. Плотность тока в нагревателе, характеризующая отношение сила тока к площади поперечного сечения проводника, равна j=3 А/см^2, КПД нагревателя n=70%, удельное сопротивление материала проволоки, из которого сделан нагревательный элемент, равно p=1,1 мкОм•м. Какой объем этого материала потребовался бы для создания такого нагревателя?

Answer 1

Дано:

m = 10 г = 10⁻² кг

T = 10 °С

Tк = 100 °С

t = 1 мин = 60 с

j = 3 A/см² = 3*10⁴ А/м²

η = 70%

ρ = 1,1 мкОм*м = 1,1*10⁻⁶ Ом*м²/м

с = 4200 Дж/(кг* °С) = 42*10² Дж/(кг* °С)

V - ?

Запишем формулу КПД нагревателя:

η = (Qп/Qз)*100

Полезное количество теплоты - это то её количество, которое затратили бы при идеальных условиях, т.е. при отсутствии тепловых потерь. Оно равно:

Qп = cmΔT = cm(Tк - T)

Затраченное количество теплоты будет равно работе электрического тока:

Qз = I²Rt

Силу тока выразим через плотность тока и площадь поперечного сечения проволоки нагревателя:

j = I/S => I = j*S

Сопротивление материала проволоки представим через удельное сопротивление материала, площадь поперечного сечения и длины проволоки:

R = ρ*L/S

Подставляем полученные выражения силы тока и сопротивления в формулу КПД:

η = (Qп/Qз)*100 = cm(Tк - T)*100 / (I²Rt) = cm(Tк - T)*100 / [(j*S)²*(ρ*L/S)*t] = cm(Tк - T)*100 / (j²*S*ρ*L*t)

В знаменателе содержится произведение S*L, что и будет являться искомой величиной - объёмом. Тогда:

S*L = V =>

=> η = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*V) = [cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t)] / V =>

=> V = [cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t)] / η = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*η)

Решаем:

V = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*η) = 42*10²*10⁻²*(100 - 10)*100 / ((3*10⁴)²*1,1*10⁻⁶*60*70) = 42*10²*10⁻²*90*100 / (9*10⁸*1,1*10⁻⁶*6*7*100) = 42*10²*10⁻²*9*10*10² / (9*10⁸*1,1*10⁻⁶*42*10²) = 42*9*10³ / (9*42*1,1*10⁴) = 10³/(1,1*10⁴) = 10³/(11*10³) = 1/11 = 0,090909... = 0,09 м³

ответ: 0,09 м³.