11. Вектора заданы своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат a=(-2,1,4), b=(1,2,-1) Чему равна z-координата вектора a*b? 12. Цилиндрические координаты точки M равны М (3, π/6 , 4) Чему равен сферический радиус r этой точки в сферической системе координат?
13. Движение материальной точки в плоскости OXY задано ее полярными координатами p(t) = 4cos (πt), φ(t) = πt Чему равен модуль трансверсального ускорения точки в момент времени t = 0,5 c? Все величины выражены в системе СИ
14. Движение материальной точки в плоскости OXY задано ее полярными координатами p(t) = 4cos (πt), φ(t) = πt Чему равен модуль трансверсальной скорости точки в момент времени t = 0,5 c? Все величины выражены в системе СИ
Значение z-координаты вектора a равно 4, а значение z-координаты вектора b равно -1.
Таким образом, z-координата вектора a*b будет равна произведению (-1) и 4, то есть -4.
Ответ: Z-координата вектора a*b равна -4.
12. Для вычисления сферического радиуса точки M по ее цилиндрическим координатам, нужно воспользоваться следующим соотношением:
r = √(x^2 + y^2 + z^2),
где x, y и z - декартовы координаты точки M.
Зная значения цилиндрических координат точки M (3, π/6, 4), можно записать соответствующие значения декартовых координат:
x = r*cos(φ),
y = r*sin(φ),
z = z.
Используя эти формулы, можно вычислить каждую из декартовых координат:
x = 3*cos(π/6) = 3*√(3)/2 = 3√(3)/2,
y = 3*sin(π/6) = 3*1/2 = 3/2,
z = 4.
Подставляя значения координат в формулу для сферического радиуса, получим:
r = √((3√(3)/2)^2 + (3/2)^2 + 4^2) = √(9/4*3 + 9/4 + 16) = √(27/4 + 9/4 + 16) = √(52/4) = √13.
Ответ: Сферический радиус точки M равен √13.
13. Трансверсальное ускорение точки выражается следующей формулой:
a_trans = r'' - r*φ'^2,
где r - радиальное расстояние, φ - полярный угол, r' - первая производная радиального расстояния по времени, φ' - первая производная полярного угла по времени, r'' - вторая производная радиального расстояния по времени.
Зная формулу для радиального расстояния p(t) = 4*cos(πt), можно вычислить первую и вторую производную по времени:
r' = -4*π*sin(πt),
r'' = -4*π^2*cos(πt).
Также известно значение полярного угла φ(t) = πt.
Подставляя значения в формулу для трансверсального ускорения, получим:
a_trans = (-4*π^2*cos(πt)) - (4*cos(πt)*(π^2*t^2)) = -8*π^2*cos(πt)*(1 - πt^2).
В момент времени t = 0,5 секунды:
a_trans = -8*π^2*cos(π*0,5)*(1 - π*(0,5)^2) = -8*π^2*cos(0,5π)*(1 - 0,25π) = -8*π^2*cos(0,5π)*(1 - 0,25π).
Ответ: Модуль трансверсального ускорения точки в момент времени t = 0,5 секунды равен -8*π^2*cos(0,5π)*(1 - 0,25π).
14. Трансверсальная скорость точки определяется как производная полярного угла по времени, умноженная на радиальное расстояние:
v_trans = p*φ'.
Зная формулы для радиального расстояния p(t) = 4*cos(πt) и для полярного угла φ(t) = πt, можно вычислить первую производную полярного угла по времени:
φ' = π.
Подставляя значения в формулу для трансверсальной скорости, получим:
v_trans = 4*cos(πt)*π.
В момент времени t = 0,5 секунды:
v_trans = 4*cos(π*0,5)*π = 4*cos(0,5π)*π.
Ответ: Модуль трансверсальной скорости точки в момент времени t = 0,5 секунды равен 4*cos(0,5π)*π.