Question

Шар массой m падает в жидкости плотностью ρ с постоянной скоростью v. С какой силой нужно тянуть этот шар, для того чтобы он поднимался в той же жидкости со скоростью 2v? Объем шара равен V. Сопротивление при движении шара в жидкости пропорционально скорости шара.

Answer 1

Дано:

m

ρ

υ_1 = υ = const

υ_2 = 2*υ = const

V

g

Fт - ?

Нужно проанализировать силы, действующие на шар. Шар падает в жидкости под действием силы тяжести mg. Против его движения направлены сила Архимеда Fa и сила сопротивления жидкости Fc, которая пропорциональна скорости, т.е. Fc = k*υ, где k - коэффициент пропорциональности (этой буквой обозначено произведение тех параметров жидкости, которые являются постоянными для определения силы сопротивления движению). Сила Архимеда равна: Fa = ρVg. Составим уравнение по Второму закону Ньютона, учитывая направление сил (вертикальную ось направим вниз) и то, что движение шара является равномерным:

mg + (-Fa) + (-Fc) = 0

mg - ρVg - kυ_1 = 0 - выразим коэффициент пропорциональности, учитывая что υ_1 = υ:

kυ = mg - ρVg

k = (mg - ρVg)/υ

Теперь рассмотрим динамику движения шара вверх. Движение равномерное. Направление сил не поменялось, кроме направления Fc (сила сопротивления всегда направлена против движения). Ещё добавилась сила тяги Fт. Направим вертикальную ось вверх, тогда:

Fт + (-mg) + Fa + (-Fc) = 0

Fт - mg + ρVg - kυ_2 = 0 - выражаем силу тяги:

Fт = mg - ρVg + k*2υ - подставляем вместо k его выражение:

Fт = mg - ρVg + ((mg - ρVg)/υ)*2υ

Fт = mg - ρVg + 2*(mg - ρVg)

Fт = mg - ρVg + 2mg - 2ρVg

Fт = 3mg - 3ρVg

Fт = 3g*(m - ρV)