10.1. Вагон массой 5-10 кг имеет четыре рессоры с жесткостью пружин по 4,5-10° Н/м. При какой скорости вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках? Длина рельса 25 м. Скорость выразите в километрах в час.
10.2. Электрический контур содержит последовательно соеди- нённые конденсатор с электроёмкостью 100 нФ, катушку с индук- тивностью 2,5 мГни резистор с сопротивлением 100 Ом. На сколь- ко процентов отличаются частота собственных электрических ко- лебаний в контуре и его резонансная (по напряжению) частота?
10.3. Период собственных колебаний пружинного маятника в вакууме равен 0,5 c. В вязкой среде период колебаний того же ма- Ятника стал равным 0,7 с. Определите (в герцах) резонансную ча- стоту колебаний.
Первым шагом необходимо определить полную энергию, которая сохраняется в системе. В данном случае, эта энергия будет равна механической энергии, которая складывается из потенциальной и кинетической энергии.
Потенциальная энергия в данный момент будет равна сумме потенциальных энергий каждой пружины в состоянии максимального растяжения. Потенциальная энергия пружины определяется формулой Eп = (1/2)kx^2, где k - коэффициент жесткости пружины, x - величина растяжения.
Так как у вагона четыре пружины, то общая потенциальная энергия будет равна Eп = 4 * (1/2)kx^2.
Кинетическая энергия в этом случае будет зависеть от скорости вагона и его массы. Кинетическая энергия вычисляется по формуле Ek = (1/2)mv^2, где m - масса вагона, v - скорость вагона.
Таким образом, полная механическая энергия будет равна: E = Ek + Eп = (1/2)mv^2 + 4 * (1/2)kx^2.
Когда вагон начинает сильно раскачиваться, вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот. Поэтому полная энергия остается постоянной.
Теперь мы можем выразить скорость вагона при начале сильного раскачивания. Для этого приравняем полную энергию в двух состояниях: до раскачивания (когда вагон движется) и в момент начала раскачивания (когда вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную):
(1/2)mv^2 + 4 * (1/2)kx^2 = 4 * (1/2)kX^2,
где X - амплитуда раскачивания.
Из этого уравнения можно найти скорость v:
(1/2)mv^2 = 3 * (1/2)kX^2,
v^2 = 3kX^2/m,
v = sqrt(3kX^2/m).
Теперь, чтобы найти скорость в километрах в час, нам нужно привести все значения к нужным единицам измерения.
Длина рельса 25 м, поэтому амплитуду раскачивания можно представить как X = 25 м/2 = 12,5 м.
Масса вагона может быть в диапазоне от 5 до 10 кг, поэтому возьмем среднее значение: m = (5+10)/2 = 7,5 кг.
Жесткость пружин составляет от 4,5 до 10 Н/м, поэтому возьмем среднее значение: k = (4,5+10)/2 = 7,25 Н/м.
Подставляем все значения в формулу и вычисляем скорость:
v = sqrt(3 * 7,25 * (12,5)^2 / 7,5) ≈ 15,79 м/с.
Для получения скорости в километрах в час нужно умножить скорость на 3,6:
v ≈ 15,79 * 3,6 ≈ 56,84 км/ч.
Таким образом, скорость, при которой вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках, составляет примерно 56,84 км/ч.
10.2. Частота собственных электрических колебаний в контуре определяется формулой f0 = 1/(2π√(LC)), где L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.
Резонансная частота колебаний определяется формулой fr = 1/(2π√(LC - R^2/4)), где R - сопротивление резистора.
Найдем отношение частот:
fr/f0 = (2π√(LC))/ (2π√(LC - R^2/4)).
Сокращаем общий множитель 2π:
fr/f0 = √(LC)/√(LC - R^2/4).
Подставляем значения данных: L = 2,5 мГн, C = 100 нФ, R = 100 Ом.
fr/f0 = √(2,5*100 * 10^(-6))/(√(2,5*100 * 10^(-6) - (100^2)/(4*10^2)).
Производим необходимые вычисления:
fr/f0 = √(2,5 * 100 * 10^(-6))/(√(2,5 * 100 * 10^(-6) - (100^2)/(4*10^2)) ≈ √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4) ≈ √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4).
Таким образом, частота собственных электрических колебаний в контуре отличается от его резонансной частоты на значение √(2,5 * 10^(-4))/√(2,5 * 10^(-4) - 1/4).
10.3. Резонансная частота колебаний пружинного маятника в вязкой среде определяется формулой fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2)), где m - масса маятника, k - его жесткость, d - коэффициент вязкого трения.
Известно, что период колебаний пружинного маятника в вакууме равен 0,5 c. Период колебаний связан со значением частоты следующим образом: T = 1/f, где T - период, f - частота.
Зная период колебаний в вакууме, мы можем найти частоту колебаний в вакууме:
f0 = 1/T = 1/0,5 = 2 Гц.
Подставим в формулу для резонансной частоты значения и найдем резонансную частоту колебаний:
fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2)).
Таким образом, резонансная частота колебаний в герцах будет равна fr = 1/(2π√(m/k - (d/(2m))^2).