Question

Материальная точка совершает затухающие гармонические колебания. Коэффициент затухания β=0,5 с^{-1}. Определить период T и логарифмический
декремент затухания θ, если известно, что за время Δt=T, амплитуда колебаний
A уменьшилась в два раза.

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны использовать формулы, связывающие период колебаний, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания:

1. Формула для периода колебаний:
T = (2π) / ω,
где ω - частота колебаний.

2. Формула для логарифмического декремента затухания:
θ = βT,
где θ - логарифмический декремент затухания, β - коэффициент затухания.

Дано: β = 0,5 с^(-1), Δt = T, A(Δt) = A/2.

Перейдем к решению:

1. Найдем логарифмический декремент затухания (θ):
θ = βT,
θ = 0,5 с^(-1) * T.

2. Найдем период колебаний (T):
Зная, что Δt = T и A(Δt) = A/2, где A - амплитуда колебаний, можем воспользоваться законом затухающих гармонических колебаний:
A(Δt) = A * exp(-βΔt),
A/2 = A * exp(-0,5 с^(-1) * T).

Разделим обе части равенства на A и возьмем натуральный логарифм от обеих частей:
ln(1/2) = ln(exp(-0,5 с^(-1) * T)),
ln(1/2) = -0,5 с^(-1) * T.

Так как ln(1/2) = -ln(2), получаем:
-ln(2) = -0,5 с^(-1) * T,
ln(2) = 0,5 с^(-1) * T.

После этого используем определение логарифма:
eln(2) = e^(0,5 с^(-1) * T),
2 = e^(0,5 с^(-1) * T).

Возводим обе части равенства в степень 1/0,5:
2^(1/0,5) = e^(0,5 с^(-1) * T).

Извлекаем корень из числа 2:
√2 = e^(0,5 с^(-1) * T).

Для упрощения уравнения можем заметить, что √2 ≈ 1,41421 и округлить его до 1,414.
Таким образом, получаем:
1,414 = e^(0,5 с^(-1) * T).

Так как e^x > 0 для любого x, можем взять натуральный логарифм от обеих частей:
ln(1,414) = ln(e^(0,5 с^(-1) * T)).

Используя свойство логарифма, получим:
ln(1,414) = 0,5 с^(-1) * T.

Так как ln(1,414) ≈ 0,347, получаем:
0,347 = 0,5 с^(-1) * T.

Делим обе части равенства на 0,5 с^(-1):
0,347 / 0,5 с^(-1) = T.

Вычисляем значение выражения:
T ≈ 0,694 сек.

Таким образом, период колебаний (T) составляет примерно 0,694 секунды, а логарифмический декремент затухания (θ) равен 0,5 с^(-1) * T, где T ≈ 0,694 сек.