Question

Найти линейные ускорения а центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости.
Угол наклона плоскости альфа = 30 градусов , начальная скорость vo всех тел
равна нулю. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела,
соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы динамики и теорию безынерционного движения.

Пусть масса шара равна m, масса диска равна M, масса обруча равна Μ, а ускорение свободного падения равно g.

Для начала рассмотрим шар. Так как шар скатывается без скольжения, то у нас возникает качение по инерции. В этом случае, центр масс шара движется с ускорением, а точка касания с поверхностью не двигается. Значит, у нас есть две составляющие ускорения: линейное и угловое.

Для нахождения линейного ускорения шара ацм, воспользуемся вторым законом Ньютона для центра масс тела:

ΣFцм = масса × ускорение

Здесь сили трения не учитываются, так как идет безынерционное движение. Затем разобьем силу тяжести на две составляющие: параллельную наклонной плоскости Fпараллель и перпендикулярную ей Fперпендикуляр.

Fпараллель = m × g × sin(α)

Fперпендикуляр = m × g × cos(α)

Таким образом, мы получаем уравнение:

ΣFцм = Fпараллель - Fперпендикуляр = м × g × sin(α) - m × g × cos(α) = масса × ускорение

m × g × (sin(α) - cos(α)) = масса × ускорение

откуда:

ацм(шара) = g × (sin(α) - cos(α))

Аналогично можно провести расчеты для диска и обруча. Для диска линейное ускорение aцм(диска) будет равно:

ацм(диска) = g × (sin(α) - cos(α))

А для обруча:

ацм(обруча) = g × (sin(α) - cos(α))

Теперь сравним найденные линейные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения. Для этого также воспользуемся законами динамики. Здесь снова разобьем силу тяжести на две составляющие: Fпараллель и Fперпендикуляр.

Fпараллель = M × g × sin(α)

Fперпендикуляр = М × g × cos(α)

Таким образом, мы получаем уравнение:

M × g × (sin(α) - cos(α)) = М × а

где а - ускорение соскальзывающегося тела без трения.

Из данного уравнения видно, что ускорение ацм(шара), ацм(диска) и ацм(обруча) равны ускорению соскальзывающегося тела при отсутствии трения.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что линейные ускорения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости, равны ускорению тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.