Горизонтальная платформа массой m1 = 120 кг вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр платформы, делая n1 =
8 об/мин. Человек массой m2 = 60 кг стоит при
этом на краю платформы. С какой частотой
начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы в
точку, расположенную от центра платформы на расстоянии половины ее
радиуса? Считать платформу круглым однородным диском, а человека -
материальной точкой.
Первым шагом найдем исходный момент импульса системы.
Момент импульса (L) вычисляется по формуле L = m₁ * r₁ * v₁, где m₁ - масса платформы, r₁ - радиус платформы и v₁ - скорость платформы.
Мы уже знаем, что масса платформы (m₁) равна 120 кг и что она вращается с частотой n₁ = 8 об/мин, что равно 8/60 = 0.133 об/сек (переведено в секунды). Следовательно, скорость платформы (v₁) равна радиусу платформы (r₁) умноженному на угловую скорость (ω₁), где ω₁ = 2π * n₁.
Таким образом, v₁ = r₁ * ω₁ = r₁ * 2π * n₁.
Поскольку человек находится на краю платформы, расстояние (r₂), на которое он переместится, будет равно половине радиуса платформы (r₁/2).
Следующим шагом нам нужно использовать закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса до перемещения должен быть равен моменту импульса после перемещения.
Таким образом, масса человека (m₂) умноженная на его скорость (v₂) должна быть равна массе платформы (m₁) умноженной на скорость платформы после перемещения (v₃).
Теперь мы можем записать уравнение:
m₂ * v₂ = m₁ * v₃.
Заменим v₂ и v₃, используя ранее найденные значения:
m₂ * (r₁ * ω₁) = m₁ * v₃.
m₂ * (r₁ * 2π * n₁) = m₁ * v₃.
Теперь мы можем решить это уравнение относительно частоты (n₃), соответствующей скорости платформы после перемещения:
n₃ = (m₂ * r₁ * 2π * n₁) / (m₁ * r₁).
Теперь, вставив значения массы платформы (m₁ = 120 кг), частоты платформы до перемещения (n₁ = 8 об/мин), массы человека (m₂ = 60 кг) и радиуса платформы (r₁) в данное уравнение, можно рассчитать искомую частоту платформы после перемещения (n₃).