Question

В каждой вершине квадрата находятся положительные заряды Q = 10^-7 Кл каждый.Какой отрицательный заряд следует поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Answer 1

Дано:

q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = Q = 10⁻⁷ Кл

Найти: q₀

Изобразим графически все заряды. Заряды в вершинах квадрата пронумеруем от 1 до 4, заряду в центре квадрата присвоим номер 0.

Если система находится в равновесии, то векторная сумма сил, действующих на каждый из зарядов равна 0. Заметим, что поскольку картинка симметрична относительно центрального заряда, то выбирать его для рассмотрения смысла нет. Выберем для рассмотрения один из зарядов, расположенных в вершинах квадрата, например, № 4.

Запишем:

$\vec{F_{41}}+\vec{F_{42}}+\vec{F_{43}}+\vec{F_{40}}=\vec{0}$

Введем ось, на которую спроецируем эти силы. Удобно направить эту ось вдоль диагонали квадрата. Тогда, получим:

$F_{41}\cos\alpha+F_{42}+F_{43}\cos\alpha -F_{40}=0$

$F_{40}=F_{41}\cos\alpha +F_{42}+F_{43}\cos\alpha$

Введенный угол $\alpha =45^\circ$, так как диагональ квадрата делит его на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Подставляя значение косинуса этого угла и расписывая силы Кулона, получим:

$k\dfrac{|q_4||q_0|}{\left(\frac{a\sqrt{2} }{2} \right)^2}=k\dfrac{|q_4||q_1|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2} +k\dfrac{|q_4||q_2|}{(a\sqrt{2}) ^2}+k\dfrac{|q_4||q_3|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

Величина $a$ соответствует стороне квадрата:

$\dfrac{|q_0|}{\frac{a^2 }{2} }=\dfrac{|q_1|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{|q_2|}{2a^2}+\dfrac{|q_3|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$|q_0|=\dfrac{a^2 }{2} \left(\dfrac{|Q|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2} +\dfrac{|Q|}{2a^2}+\dfrac{|Q|}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right)$

$|q_0|=\dfrac{1 }{2} \left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}|Q| +\dfrac{1}{2}|Q|+\dfrac{\sqrt{2} }{2}|Q|\right)$

$|q_0|=\left({\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\dfrac{1}{4}\right)|Q|$

$|q_0|=\left({\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\dfrac{1}{4}\right)\cdot10^{-7}\approx0.96\cdot10^{-7}\ (Kl)$

Так как искомый заряд отрицательный, то:

q₀ ≈ -0.96·10⁻⁷ Кл

ответ: -0.96·10⁻⁷ Кл