Question

(Задачник Чертова; 1-28) Движение материальной точки задано уравнением r(t) = i(A+Bt²)+jCt, где A = 10 м, B = -5 м/с², C = 10 м/с. Найти модули тангенциального и нормального ускорений , с подробным объяснением

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся следующие формулы:

1. Уравнение скорости: v(t) = dr(t)/dt
2. Уравнение ускорения: a(t) = dv(t)/dt

Начнем с вычисления скорости. Для этого найдем производную от уравнения движения по времени:

dr(t)/dt = i(2Bt) + jC

Теперь у нас есть уравнение скорости. Следующий шаг - найти производную скорости по времени, чтобы вычислить ускорение:

dv(t)/dt = d²r(t)/dt² = i(2B) = 2Bi

Тангенциальное ускорение является проекцией ускорения на направление движения и вычисляется как модуль скорости:

aт = |dv(t)/dt| = |2Bi| = 2B

Теперь найдем модуль нормального ускорения, который является проекцией ускорения на нормальное направление (перпендикулярное направлению движения). Для этого найдем производную скорости по времени, чтобы вычислить вторую проекцию ускорения:

a(t) = ai + aj = 2Bi + 0j

aн = |aj| = |0j| = 0

Таким образом, модуль тангенциального ускорения равен 2B, а модуль нормального ускорения равен 0.

Обоснование:

- Для нахождения уравнений скорости и ускорения использовались соответствующие определения производных.
- Точка движется только по вертикальной оси, поэтому компонента скорости по горизонтальной оси равна нулю.
- Модуль тангенциального ускорения равен модулю второй проекции ускорения и равен 2B.
- Модуль нормального ускорения равен модулю первой проекции ускорения по вертикальной оси и равен 0.