Question

Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 15 с-1. Масса диска 0,5 кг, радиус 0,2 м. На него падает другой
диск с моментом инерции 0,05 кг·м2 , вращающийся с угловой скоростью
10 с-1 . Плоскости дисков параллельны, центры на одной вертикальной
линии. Придя в соприкосновение, диски мгновенно склеиваются. Найти
угловую скорость образовавшейся системы и изменение кинетической
энергии дисков.

Answer 1

Пусть точка $O$ -- центр диска. В силу однородности это еще и центр масс. Тогда по теореме об изменении кинетического момента: $\dot{\vec{K}}_{O} = \vec{M}_{O}^{\text{ext}}$, где $\vec{M}^{\text{ext}}_{O}$ -- главный вектор момента внешних сил относительно вертикальной оси. Заметим, что$d\vec{K}_{O}=\sum\limits_{j=1}^{n}\vec{r}_{j}\times \vec{F}_{j}\cdot dt \approx 0$ в силу малости $dt$ (склеивание мгновенное). Поэтому имеет место сохранение кинетического момента.

Но тогда $J_{z}\omega_{1} = J_{z}'\omega _{2} \Rightarrow \omega_{2}=\dfrac{J_{z}}{J_{z}'}\omega_{1} = \dfrac{mr^2}{2J_{z}'}\omega_{1} = \dfrac{0.5\cdot 0.2^2}{2\cdot (0.05+0.5\cdot0.2^2/2)}\cdot 15=2.5\;\text{s}^{-1}$.

Тогда $\Delta T_{1} = \dfrac{J\Delta\omega^2}{2} = J(\omega_{2}^2-\omega_{1}^2)/2 \approx -1.1\;\text{J}$, $\Delta T_{2} = \dfrac{J\omega_{2}^2}{2} = 0.05\cdot 2.5^2/2\approx 0.16\;\text{J}$.

Как видно, изменение кинетической энергии ненулевое, что связано с работой сил (здесь учитываются не только внешние, вклад которых как видно не велик, но и внутренних, таких как сила трения).