1. Решение с учетом свойств резонанса
Резонанс напряжений наблюдается при выполнении условия Xl = Xc (по модулю).
Таким образом, реактивное сопротивление скомпенсировано, энергия источника расходуется только на активном сопротивлении.
По закону Ома:
I = U/R = 220/22 = 10 A
Падение напряжения на резисторе по тому же закону Ома:
Ur = I*R = 10*22 = 220 В
Напряжения на конденсаторе и катушки равны по модулю и составляют:
Ul = I*Xl = 10*200 = 2000 В
2. Более формальное решение
Резонанс напряжений наблюдается при выполнении условия Xl = Xc (по модулю).
Таким образом, у нас цепь из 3 элементов (если не считать источник), сопротивления которых нам известны (далее все величины комплексные):
R = 22
Xl = 200j
Xc=-200j
где j – мнимая единица.
Найдем ток по закону Ома:
I = U/(R+Xl+Xc) = 220/(22+200j-200j) = 10 А
По тому же закону Ома найдем падения напряжения на элементах:
Ur = I*R = 10*22 = 220 В
Ul = I*Xl = 10*200j = 2000j В
Uc = I*Xc = 10*(-200j) = -2000j В
Тут следует добавить, что на реактивных элементах при резонансе напряжение не падает, и, как можно заметить, значительно превышает напряжение источника по модулю.
T = 2*π*корень(m/k) => k = 4*π² * m / T² = 4*3,14² * 3 кг / (8 с)² ≈ 1,85 Н/м
Полная энергия W = 0,5 * k * A² = 0,5 * 1,85 Н/м * (4 м)² = 14,8 Дж
W = К + П = 2*П => П = W / 2 = 14,8 Дж / 2 = 7,4 Дж
П = 0,5 * k * x² => находим смещение груза x = корень(2*П / k) = корень(14,8 Дж / 1,85 Н/м) = 2,83 м
Подставляем в уравнение
2,83 = 4*cos(π*t/4 - π/6)
cos(π*t/4 - π/6) = 2,83 / 4 = 0,708
π*t/4 - π/6 = π/4 => t/4 - 1/6 = 1/4 => t/4 = 1/4 + 1/6 = 5/12
t = 5*4/12 = 1,7 с