Question

На дне шахты глубиной 20 м лежит мяч. с какой минимальной должен быть брошен мяч со дна шахты, чтобы он вылетел из нее?

Answer 1

$mgh= \frac{mv^{2}}{2} \\ v= \sqrt{2gh}$

Answer 2

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о движении тела под действием силы тяжести.

В данной задаче мяч находится на дне шахты, поэтому мы можем считать его начальную высоту равной 0 метров. Мы хотим выяснить, с какой минимальной начальной скоростью нужно бросить мяч, чтобы он вылетел из шахты.

Пользуясь законами физики, можно установить следующую формулу для вычисления высоты свободного падения тела относительно начальной высоты:

h = h0 + v0*t + (1/2)*g*t^2

где:
h - высота тела после времени t
h0 - начальная высота тела
v0 - начальная скорость тела
g - ускорение свободного падения (приближенное значение 9,8 м/с^2)

В данном случае, нам нужно найти значение начальной скорости v0, при которой высота h будет равной 0 метров. Подставим известные значения в формулу:

0 = 20 + v0*t - (1/2)*g*t^2

Так как мяч должен вылететь из шахты, его конечная высота должна быть равной 0 метров, поэтому ставим h равной 0. Также можно заметить, что в конце движения время t будет одинаковым для начального броска и для конечного падения. Поэтому будем считать, что t - это время полета мяча из шахты в момент вылета.

0 = 20 + v0*t - (1/2)*g*t^2

Так как у нас есть квадратное уравнение, мы можем решить его с помощью квадратного корня или факторизации. Однако, чтобы избежать проблем с корнями, мы можем использовать другой метод - метод полной квадратной разности.

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от 1/2 перед первым слагаемым:

0 = 40 + 2*v0*t - g*t^2

Теперь, чтобы применить метод полной квадратной разности, мы расширим уравнение, добавив и вычитая половину квадрата коэффициента при t:

0 = 40 + 2*v0*t - g*t^2 + (g^2*t^2)/(4*g^2) - (g^2*t^2)/(4*g^2)

Сгруппируем слагаемые:

0 = (40 + (g^2*t^2)/(4*g^2)) + 2*v0*t - g*t^2 - (g^2*t^2)/(4*g^2)

0 = (40 + (g^2*t^2)/(4*g^2)) + (2*v0*t - g*t^2) - (g^2*t^2)/(4*g^2)

0 = (40 + (g^2*t^2)/(4*g^2)) - [(g*t - 2*v0)*(g*t + 2*v0)]/(4*g^2)

Теперь у нас есть полный квадрат на второе слагаемое. Полный квадрат разности двух переменных a и b представляется в виде (a - b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2. В нашем случае, a = g*t, b = 2*v0:

0 = (40 + (g^2*t^2)/(4*g^2)) - [(g*t - 2*v0)*(g*t + 2*v0)]/(4*g^2)

0 = 40 + (g^2*t^2)/(4*g^2) - (g^2*t^2 - 4*v0^2)/(4*g^2)

0 = 40 + (g^2*t^2 - g^2*t^2 + 4*v0^2)/(4*g^2)

0 = 40 + 4*v0^2/(4*g^2)

0 = 40 + v0^2/(g^2)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Выразим v0^2:

v0^2 = -40*(g^2)

Теперь возьмем корень из обоих частей уравнения:

v0 = sqrt(-40*(g^2))

Так как g^2 положительное число, умножение на -40 не меняет знака, поэтому у нас есть:

v0 = sqrt(40*(g^2))

Раскроем скобку:

v0 = sqrt(40)*sqrt(g^2)

Так как g ≈ 9,8 м/с^2, подставим значение:

v0 = sqrt(40)*sqrt((9,8 м/с^2)^2)

Выполним вычисления:

v0 = sqrt(40)*sqrt(96,04 м^2/с^4)

v0 ≈ sqrt(40)*9,8 м/с

v0 ≈ 6,32 м/с

Таким образом, чтобы мяч вылетел из шахты глубиной 20 метров, его должны бросить с минимальной начальной скоростью около 6,32 м/с.