Question

Найти момент инерции шарового слоя малой толщины b<

Answer 1

Считаем, что шаровой слой =  разности двух шаров с радиусами r1 = r + b/2 и r2 = r - b/2 и плотностью, равной плотности шарового слоя.
1. Объём
$V=\dfrac43\pi(r_1^3-r_2^3)$
2. Плотность
$\rho=\dfrac mV$
3. Массы шариков
$m_1=\dfrac43\pi\rho r_1^3;\quad m_2=\dfrac43\pi\rho r_2^3$
4. Момент инерции = разность моментов шариков
$I=\dfrac25(m_1r_1^2-m_2r_2^2)=\dfrac25\cdot\dfrac43\pi\rho(r_1^5-r_2^5)=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}$
Осталось понять, как считать разности вида r1^n - r2^n.
$r_1^n-r_2^n=\left(r+\dfrac b2\right)^n-\left(r-\dfrac b2\right)^n\approx \left(r^n+\dfrac n2r^{n-1}b\right)-\left(r^n-\dfrac n2r^{n-1}b\right)\\ r_1^n-r_2^n\approx nr^{n-1}b$
$I=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}\approx\dfrac25m\dfrac{5r^4b}{3r^2b}=\dfrac23mr^2$
В первом порядке I не зависит от b. Если надо, чтобы зависело (правда, непонятно, зачем) - учитывайте следующие члены в разложении по биному.