Question

Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r = 5t2i + j + 2tk. определить: а) уравнение траектории частицы, б) скорость и ускорение частицы в момент времени t0= 1 с, в) касательное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории r.

Answer 1

A)
Из закона видно, что
x=5t²
y=1 (от t не зависит)
z=2t
Тогда
t=z/2
x=5(z/2)²=1.25z² - парабола
б)
Формула скорости
$v= \frac{dr}{dt} \\ v=10ti+2k \\ v(1)=10i+2k \\ |v(1)|= \sqrt{10^2+2^2} = \sqrt{104}=2 \sqrt{26}$
Ускорение
$a= \sqrt{a_{ \tau}^2+a_n^2} \\ a_{ \tau}= \frac{dv}{dt} =10i \\ |a_{ \tau}|=10 \\ a_{ \tau}(1)=10$
Формула радиуса кривизны
$R= \frac{vt}{2 \pi } \\ R= \frac{2 \sqrt{26} }{2 \pi } =\frac{ \sqrt{26} }{ \pi }$
Тогда центростремительное ускорение
$a_n= \frac{v^2}{R} \\ a_n= \frac{(2 \sqrt{26} )^2}{ \frac{ \sqrt{26} }{ \pi } }=4 \pi \sqrt{26}$
Полное ускорение
$a= \sqrt{10^2+(4 \pi \sqrt{26})^2 } = \sqrt{100+416 \pi ^2}$
ответ: 2√26 м/с; √(100+416π²) м/с²
в) 
Искомые значения были определены в предыдущем пункте
ответ:
$a_{ \tau}=10 \\ a_n=4 \pi \sqrt{26} \\ R= \frac{ \sqrt{26} }{ \pi }$