К человеку-то ближе. Примерно в 60 миллионов раз ближе, чем к центру Земли. Но вот масса Земли больше массы человека в 10²³ раз. Так что "вниз" (то есть к центру Земли) пуговица притягивается с силой примерно в триста миллионов раз бОльшей, чем к человеку в пальто. Вот и падает вниз - что ещё ей остаётся...
1)В нижней точке вес будут больше на величину ma. P=mg+ma, а так как при движении по окружности ускорение центростремительное а=v^2 / r, вчислим его и подставим в 1 формулу, можно записать в общем виде, а потом подставить Р=mv^2 / r +mg. P=12500H.=12,5кН. ( 1т=1000кг, 72км/ч=10м/c ).(по выпуклому мосту, вес будет на ma меньше Р=mg-ma ). 2)По закону сохранения энергии: потенциальная энергия сжатой пружины в кпайней точке, превращается в кинетическую в положении равновесия: Eпмах=Екмах. Епмах=к*х^2 / 2, Eкмах=mv^2 / 2, приравняем, сократим на 2. к*х^2=m*v^2, отсюда v =x*кор. кв. из к / m, v=0,4м/c. ( это будет мах скорость, х-мах координата ( амплитуда) =0,04м, 400г=0,4 кг.)
Вот и падает вниз - что ещё ей остаётся...