Question

Точка движется по окружности радиусом 8м.в некоторый момент времени нормальное ускорение точки 4м/с, вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60*.найти скорость v и тангенциальноеускорение точки.

Answer 1

Дано: r=8 м а₁= 4 м/c² α=60° найти: v, a₂ решение: формула центростремительного ускоренияиз тригонометрии ответ: 4√2≈5,67 м/с²; 4/√3≈2,31 м/с²

Answer 2

Хорошо, давай решим данную задачу.

Для начала, введем несколько обозначений:
- r = 8 м - радиус окружности
- a_n = 4 м/с^2 - нормальное ускорение точки
- α = 60 градусов - угол между вектором полного ускорения и вектором нормального ускорения
- v - скорость точки
- a_t - тангенциальное ускорение точки

Задача требует найти скорость v и тангенциальное ускорение точки.

Начнем с определения полного ускорения точки:

а_total^2 = а_t^2 + а_n^2 (1)

Векторное подставление:
а_total = |а_total| = |а_t|, так как нормальное ускорение а_n ортогонально вектору а_t.
а_total = |а_t|

Таким образом, можем записать:
а_total^2 = вектор(а_total) • вектор(а_total) = (вектор(а_t) + вектор(а_n)) • (вектор(а_t) + вектор(а_n)) (2)

Раскроем скобки:
а_total^2 = вектор(а_t) • вектор(а_t) + 2 * вектор(а_t) • вектор(а_n) + вектор(а_n) • вектор(а_n) (3)

Согласно этому уравнению, нам известны следующие значения:
- вектор(а_n) = 4м/с^2
- угол между вектором полного ускорения и вектором нормального ускорения α = 60 градусов.

Теперь рассмотрим геометрический смысл данных векторных операций. Вектор нормального ускорения а_n направлен к центру окружности, в то время как вектор полного ускорения направлен к вектору скорости.

В нашей задаче данные векторы образуют угол в 60 градусов между собой, что означает, что они были разложены на составляющие вдоль осей радиуса и касательной к окружности.

Теперь, используя геометрические соображения, можно записать:
вектор(а_t) • вектор(а_n) = а_total * cos(α) = а_total * cos(60 градусов) = а_total * 1/2 (4)

Заменим это значение в уравнении (3):
а_total^2 = вектор(а_t) • вектор(а_t) + 2 * а_total * 1/2 + вектор(а_n) • вектор(а_n) (5)

Так как в нашем случае вектор(а_t) • вектор(а_n) = а_total * 1/2, то можно переписать уравнение (5) следующим образом:
а_total^2 = вектор(а_t) • вектор(а_t) + а_total + вектор(а_n) • вектор(а_n) (6)

Подставим известные значения и получим следующее уравнение:

а_total^2 = а_t^2 + а_total + а_n^2

Теперь решим это квадратное уравнение относительно а_total:
а_total^2 - а_total - а_n^2 = 0

Можно применить квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1 и c = -а_n^2:
D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-а_n^2)
= 1 + 4а_n^2
= 1 + 4 * 4^2
= 1 + 4 * 16
= 1 + 64
= 65

Таким образом, дискриминант составляет 65. Это положительное число, следовательно, у нас есть два решения для а_total:

а_total1 = (-b + sqrt(D)) / 2a
= (1 + sqrt(65)) / 2

а_total2 = (-b - sqrt(D)) / 2a
= (1 - sqrt(65)) / 2

В нашем случае нас интересует положительное значение а_total, поэтому выбираем а_total = (1 + sqrt(65)) / 2.

Теперь найдем скорость точки:
v = r * w,
где w - угловая скорость точки, и определяется как w = как v / r.

Теперь, подставим значение а_total в формулу:
(1 + sqrt(65)) / 2 = v / 8 (7)

так как v = w * r, можем заменить (7):
(1 + sqrt(65)) / 2 = w * 8 / 8
(1 + sqrt(65)) / 2 = w

Теперь найдем тангенциальное ускорение точки, используя известные значения:
а_t = а_total - а_n
= (1 + sqrt(65)) / 2 - 4

Таким образом, скорость точки v = (1 + sqrt(65)) / 2, а тангенциальное ускорение точки а_t = (1 + sqrt(65)) / 2 - 4.