Question

Планета, имеющая форму шара, делает один оборот вокруг своей оси за v=2,7⋅10^(-5) c. если плотность планеты ρ=0,7⋅10^3кг/м^3, то вес тела на полюсе превышает вес на экваторе на %)?

Answer 1

Дано
Т=2,7*10^(-5) c период вращения планеты
ρ=0,7*10³ кг/м³ плотность вращения планеты
Натйти
$\delta= \frac{P_p-P_e}{P_p}\cdot 100\%$
На полюсе вес равен силе тяжести
$P_p=mg$ (1)
На экваторе он меньше за счет центробежной силы.
$P_e=m(g-a_c)$)
относительная разность весов:
$\delta= \frac{P_p-P_e}{P_p}\cdot 100\%$ (3)

NB. Тут правда есть один условность. Что мы принимаем за 100%. Я принимал полярный вес, но можно было и иначе. Чтобы не возникало неоднозначности лучше было бы запросить отношения весов $\frac{P_p}{P_e}$. Т.е спросить во сколько раз скажем полярный вес больше экваториального.

$\delta= \frac{P_p-P_e}{P_p}\cdot 100\% = \frac{mg-m(g-a_c)}{mg}*100\% = \frac{g-(g-a_c)}{g}*100\%= \frac{a_c}{g} *100\%$ (4

При этом из закона всемирного тяготения и "геометрических соображений" выражаем g:
$g= \frac{GM}{R^2} = \frac{G\rho \frac{4}{3} \pi R^3 }{R^2}= {G\rho \frac{4}{3} \pi R }$ (5)

Ускорение $a_c$:
$a_c=\frac{v^2}{R} = \frac{(2 \pi R/T)^2}{R}= \frac{4 \pi ^2R}{T^2}$ (6)
Подставляем (5), (6) в (4)
$\delta=\frac{a_c}{g} *100\%=( \frac{4 \pi ^2R}{T^2})/(G\rho \frac{4}{3} \pi R) *100\%=( \frac{\pi }{T^2})/(G\rho \frac{1}{3} ) *100\%=\newline \newline = \frac{3 \pi }{G\rho T^2} *100\%$
 
$\delta=\frac{3 \pi }{G\rho T^2} *100\%$(6)
Вот только возникают сомнения насчет правильности данных о периоде вращения. Надо проверить вдруг $a_c\ \textgreater \ g$? В этом случае любое тело улетит с экватора. Тогда и пользоваться формулой (6) некорректно.
Проверим
$a_c= \frac{4 \pi ^2R}{T^2}= \frac{4 \pi ^2R}{(2,7*10^{-5})^2}\approx 5,41542*10^{10} R$

$g= \frac{GM}{R^2} = {G\rho \frac{4}{3} \pi R }=6,67*10^{-11}*0,7*10^3* \frac{4}{3}* \pi *R\approx \newline \newline \approx 19,55746*10^{-8} R$
 Ну видно невооруженным глазом, что
$a_c\ \textgreater\ \textgreater \ \ g$
При таком раскладе с экватора улетит все что можно, я подозреваю, что планету  вообще разорвет в клочья( Если в природе вообще возможно такое ускорение)
Значит полагаем ошибка в условии и
T=2,7*10⁵ c
 
Тогда согласно (6):
$\delta=\frac{3 \pi }{G\rho T^2} *100\%\approx \frac{3 \pi }{6,67*10^{-11}*0,7*10^3*2,7^2*10^{10}}*100\% \approx \newline \approx 0,2769*10^{-2}*100\%\approx0,277 \%$