Question

Через интегралывычислить силу давления воды на вертикальную площадку, имеющую форму прямоугольника с основанием 4 м и высотой 2 м. основание прямоугольника находится на поверхности воды.

Answer 1

Площадь пластины:
S=4*2=8 м^2
Изменение давления с ростом глубины:
d P= p*g* dh   (здесь р - плотность воды 1000 кг/м^3, g = 10 м/с^2)
Изменение силы :
d F = d P * S = p*g*S*dh
Берем интеграл от d F . Пределы интегрирования от 0 до 2:

F = интеграл от (d F) = p*g*S h (Пределы h от 0 до 2)=2*1000*10*8=160 000 Па
ответ: 160 кПа
ЗАМЕЧАНИЕ: Нет значка интеграла, к сожалению... Но Вы поймете, надеюсь, суть решения  :)

Answer 2

Для удобства введем некоторую систему координат. Например так:
Ось z направим вертикально вниз. За начало координат примем точку на уровне поверхности воды.

Разобъём нашу пластину на "элементарные" площадки (полоски) в пределах которых давление можно считать постоянным. Это горизонтальные (такая полоска находится на одной глубине z=const).
давление на такую элементарную полоску
$P(z)=\rho g z$ есть функция от глубины z.
площадь такой полоски:
$dS=4*dz$
Соответственно "элементарная"сила действующая на  такую полоску:
$dF=P(z)dS=\rho gz*4dz$ (3)
Теперь, если просуммировать все силы по элементарным полоскам получим интегральную сумму, а если при этом перейти к пределу при dz⇒0, то получим интеграл:

$F= \int\limits^2_0 {\rho g z 4} \, dz = 4\rho g \int\limits^2_0{z} \, dz =4\rho g \frac{z^2}{2}|_0^2=2\rho g 2^2-0=8\rho g$ (4)
Если подставить в (4) плотность воды ρ=1000 кг/м³, g=9,8 м/с², то получим

$F=8*1000*9.8=78400$Н

P,S.(Координаты можно было бы ввести иначе например направить ось вверх (обозвать её как угодно и начало координат взять на другом уровне. Поупражняйтесь, изменятся пределы интегрирования, но конечный ответ должен быть тот же. Просто в таком виде показалось проще меньше возни со знаками и одно слагаемое обнуляется)