Question

Какой должна быть добротность контура q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1% ?

Answer 1

Шаг 1. Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
$q'' + 2 \gamma q' + \omega_0^2 q = e(t)$, полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: $\gamma = \frac{R}{2L}$, $\omega_0 = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$. Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. $e(t) = \frac{E_0}{L} cos(\omega t)$.
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
$q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi) + B cos(\omega t + \psi)$, где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение $q=B cos(\omega t + \psi)$ в уравнение и (с например, векторной диаграммы) получим $B = \frac{E_0}{L} \frac{1}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}$.
Зная, что $I(t) = q'(t) = - B \omega sin(\omega t +\psi)$ и $U(t) = \frac{q(t)}{C}$. Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения: $U = \frac{E_0}{LC \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}$ и $I = \frac{E_0 \omega}{LC \omega \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}} = \frac{E_0}{LC \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}}$.
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте $\omega_u = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$, а у тока при $\omega_i = \omega_0$.
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое $q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi)[\tex] Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [tex]\tau = \frac{1}{\gamma}$. За это время система совершила $N = \frac{\tau}{T_c} = \frac{\omega_c}{2 \pi \gamma}$ колебаний, где $\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ - собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина $Q = \pi N = \frac{\omega_c}{2 \gamma}$ называется добротностью контура.
Шаг 3. Накладываем ограничения
$\frac{\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} }{\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}} \leq 0.01$
Решая это неравенство получаем: $\frac{\gamma^2}{\omega_0^2} \leq 0.009851975$, отсюда $\frac{\omega_0}{2\gamma} \geq 5.04$
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря, $Q = \frac{\omega_c}{2 \gamma}$ и $\frac{\omega_0}{2\gamma}[\tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = \frac{ \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = \frac{\omega_0}{2\gamma} \sqrt{1 - \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} = \frac{\omega_0}{2\gamma} ( 1 - \frac{\gamma^2}{2\omega_0^2} + o(\frac{\gamma^2}{\omega_0^2})) = \frac{\omega_0}{2\gamma} - \frac{\gamma}{4\omega_0} + o(\frac{\gamma}{\omega_0}).$ Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
ответ:$Q \ \textgreater \ 5$

P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.