Question

На резиновом шнуре длиной 20 см подвесили груз массой 200 г. при этом шнур удлинился на 4 см. на сколько удлинится этот же резиновый шнур, если к нему подвесить тот же самый груз, но предварительно шнур сложить вдвое? чему равен коэффициент шнура? (считать, что деформации резины подчиняются закону гука).

Answer 1

Для начала отвлечёмся немного от конкретного вопроса и поставим такой мысленный эксперимент:

Допустим, мы сидим на высоком упругом куске поролона, теперь подложим ещё один точно такой же кусок поролона, что изменится? Понятно, что такое сиденье станет мягче, т.е. его жёсткость – снизится.

Вообще, верно такое положение: чем больше протяжённость одного и того же материала вдоль оси сжатия (растяжения) – тем меньше коэффициент жёсткости (упругости) такой пружинящей системы.

Проще говоря, рассматривая пружинки и резинки, можно сказать, что если из одного и того же материала изготовить одинаковые пружинки разной длины, то коэффициент жёсткости (упругости) будет больше у короткой и меньше у длинной пружинки, и отличаться коэффициенты жёсткости будут во столько же раз, во сколько отличаются их длины.

Теперь поговори о нашем резиновом 20-сантиметровом шнуре. Сила, действующая в первом опыте на нижний конец шнура – это вес подвешенного груза, который в состоянии покоя равен силе тяжести, действующей на груз. Т.е. эта сила $T_o = mg \approx 0.2 \cdot 9.8 H = 1.96 H$. Коэффициент упругости такого резинового шнура можно легко найти, исходя из закона упругости Гука:

$| F_{ynp} | = k_{ynp} \cdot \Delta x ,$

т.е. как: $k_{ynp} = \frac{ | F_{ynp} | }{ \Delta x } ,$

или конкретно в нашем случае: $k_o = \frac{ T_o }{ \Delta x } = \frac{mg}{ \Delta x } \approx \frac{ 0.2 \cdot 9.8 }{ 0.04 } = 49$ Н/м .

Итак, жёсткость всего шнура $k_o \approx 49$ Н/м .

Это воздействие в полной мере передаётся и точке закрепления шнура, и соответственно на верхнюю точку самого шнура действует сила $T_u = T_o \approx 1.96 H .$ Причём в любой точке шнура между его собственными частями действует такая же сила $T = T_u = T_o \approx 1.96 H .$ А значит и в середине шнура действует точно такая же сила $T = T_u = T_o \approx 1.96 H .$

Середина шнура, находившаяся в нерастянутом состоянии на расстоянии 10 см от его концов, при равномерном растяжении всего шнура не перестаёт быть серединой, а значит, поскольку весь шнур становится 24 см длину, то середина оказывается в 12 см от концов шнура, т.е. перемещается вниз на 2 см, считая от верхней точки закрепления шнура. Отсюда можно вычислить коэффициент жёсткости именно верхней половины резинового шнура, которая при действии на неё силы Гука в $1.96 H$ удлиняется при растяжении на 2 см. И у нас получится: $k = \frac{ T }{ \frac{1}{2} \Delta x } = 2 \frac{mg}{ \Delta x } = 2 k_o \approx 98$ Н/м . Откуда видно, что у половины шнура коэффициент упругости вдвое больше, чем у целого.

Если бы мы подвесили груз просто к середине шнура, как показано в предпоследнем варианте, то шнур работал бы с коэффициентом упругости $k = 2 k_o \approx 98$ Н/м . А половина шнура, так же как и раньше, растягивалась бы на половину величины $\Delta x = 4$ см, заданной в условии, т.е. на $\frac{1}{2} \Delta x = 2$ см.

А если же шнур не просто использовать на половину, а сложить и использовать обе его половины параллельно, как показано в последнем варианте, то каждая его часть при растягивании на $\frac{1}{2} \Delta x = 2$ см, действовала бы на груз с силой $T = 1.96 H$, т.е. суммарная сила, действующая на груз вверх была бы вдвое больше необходимой для уравновешивания его массы, а значит, весь сложенный шнур немного поднимется, так что растяжение каждой его половинки сократится ещё вдвое, и общая сила натяжения станет равна силе тяжести груза.

Конечное растяжение сложенного шнура составит $\frac{1}{4} \Delta x = 1$ см. А его коэффициент упругости сложится из упругости одной и другой половинки сложенного шнура. А поскольку коэффициент упругости каждой половинки составляет $k = 2 k_o \approx 98$ Н/м, то коэффициент упругости всей такой системы будет $k' = 2k = 4 k_o \approx 196$ Н/м .

О т в е т :

$k_o \approx 49$ Н/м – коэффициент упругости исходного резинового шнура;

$k' = 4k_o \approx 196$ Н/м – коэффициент упругости сложенного вдвое шнура;

$\Delta x' = \frac{1}{4} \Delta x \approx 1$ см

*** важно понимать, что под $\Delta x' \approx 1$ см, здесь подразумевается длина, на которую удлиняется именно сложенный резиновый шнур, т.е. от $10$ см до $11$ ; если же гибким измерительным инструментом измерить полную длину сложенного резинного шнура, то она окажется равной $22$ см, против исходных $20$ см.