Question

Для поражения цели с самолёта запускают ракету. самолёт летит горизонтально на высоте н = 8 км со скоростью v0 = 300 м/с. масса ракеты изменяется по закону m = m0ехр(-lambdat) и уменьшается за время полёта к цели в е раз. скорость истечения газов относительно ракеты u = 1000 м/с, корпус ракеты во время её полёта горизонтален. каково расстояние l от цели до точки, над которой находился самолёт в момент запуска ракеты? сопротивление воздуха не учитывать.
ответ l = 32 кимлометра

Answer 1

32 км

Объяснение:

На движение в вертикальном направлении ничего не влияет, время падения $t_0=\sqrt{2H/g}$. С другой стороны, за это время масса уменьшилась в $e$ раз, так что $\lambda t_0=1$.

Записываем закон сохранения горизонтальной компоненты импульса (как обычно, выкидываем слагаемые второй степени малости):

$mv_x=(m-\Delta m)(v_x+\Delta v_x)+\Delta m\cdot(v_x-u)\\mv_x=mv_x+m\Delta v_x-\Delta m\cdot v_x+\Delta m\cdot v_x-\Delta m\cdot u\\m\Delta v_x=\Delta m\cdot u\\\Delta v_x=\dfrac{\Delta m}m\cdot u$

Делим обе части на $\Delta t$, переходим к пределу при $\Delta t\to0$ и получаем

$\dot{v}_x=-\dfrac {d\ln m}{dt}u=\lambda u=\dfrac{u}{t_0}$

Йеху, да это же движение с постоянным ускорением! Начальная скорость $v_0$, время известно, остаётся только подставить в школьную формулу

$L=v_0 t_0+\dfrac{ut_0^2}{2t_0}=\left(v_0+\dfrac u2\right)t_0=(300+500)\cdot\sqrt{\dfrac{2\cdot16000}{10}}\text{ m}=32000\text{ m}$