Question

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 5 м\с .на какую максимальную высоту он поднимается?

Answer 1

Моделируем камень точечной массой (точкой). Введём систему координат на плоскости с центром в точке-камне перед моментом броска. Ось y направлена вертикально вверх, ось x — ортогональна y в плоскости движения. Моменту броска присвоим время t=0.

Запишем ускорения точки (движение в поле силы тяжести):

$\ddot{x} = 0, \; \ddot{y} = -g$

Интегрируя, получим:

$\dot{x} = \int \ddot{x} dt = A$

$x = \int \dot{x} dt = A t + B$

$\dot{y} = \int \ddot{y} dt = - g \cdot t + C$

$y = \int \dot{y} dt = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + Ct + D$

Начальные условия:

$\dot{x}|_{t=0} = 0, \; \dot{y}|_{t=0} = v_0$

$x|_{t=0} = 0, \; y}_{t=0} = 0$

Отсюда:

 $A = 0, \; B = 0, \; D = 0$

$C = v_0$

$\dot{x} = 0$

$x = 0$

$\dot{y} = - g \cdot t + v_0$

$y = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + v_0 t$

Найдём экстремумы для $y = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + v_0 t$, приравняв $\dot{y} = 0$:

$- g \cdot t + v_0 = 0 \; \Rightarrow \; t^{*} = \frac{v_0}{g}$

Поскольку $\ddot{y} < 0$, то полученный экстемум является максимумом для $y(t)$.

Наибольшая координата y, достигаемая при моменте времени t*, и будет искомой высотой:

$y_{max} = - g \cdot \frac{1}{2} \left(t^{*}}\right)^2 + v_0 t^{*} = - g \cdot \frac{1}{2} \left({\frac{v_0}{g}}\right)^2 + v_0 \frac{v_0}{g}$

Принимая $g = 10$ м/с² и имея по условию $v_0 = 5$ м/с, получим:

$y_{max} = - \frac{1}{2} {\frac{{v_0}^2}{g}} + \frac{{v_0}^2}{g} = \frac{1}{2} {\frac{{v_0}^2}{g}} = \frac{1}{2} \cdot {\frac{{5}^2}{10}} = \frac{25}{20} = 1.25$ м.

ответ: 1,25 м.