Question

Найдите до какой скорости надо разогнать 2 протона,чтобы они могли сблизиться до радиуса действия ядерных сил (10^-15 м), преодолевая кулоновское отталкивание. какой термодинамической температуре соответствует эта скорость?

Answer 1

Воспользуемся сначала классическим (нерелятивистским) энергетическим расчётом.

Начальная кинетическая энергия
двух протонов с приданной им скоростью:

$E_o = \frac{ m_p v^2 }{2} + \frac{ m_p v^2 }{2} = m_p v^2 \ ;$

Начальная потенциальная энергия двух протонов
взаимодействующих электрически:

$U_o = k \frac{ e^2 }{R} \ ,$    где    $R \$    – начальное расстояние.

Конечная кинетическая энергия двух протонов
в предверии появления ядерных сил:

$E = = m_p v_{ocm}^2 \$    где    $v_{ocm} \$    – остаточная скорость.

Конечная потенциальная энергия двух протонов
взаимодействующих электрически:

$U = k \frac{ e^2 }{r} \ ,$    где    $r \approx 10^{-15} \$   м – конечное расстояние
перед началом действия ядерных сил.

По закону сохранения энергии
полная начальная энергия равна полной конечной:

$E_o + U_o = E + U \ ;$

$m_p v^2 + k \frac{ e^2 }{R} = m_p v_{ocm}^2 + k \frac{ e^2 }{r} \ ;$

$m_p v^2 - m_p v_{ocm}^2 = k \frac{ e^2 }{r} - k \frac{ e^2 }{R} \ ;$

$m_p ( v^2 - v_{ocm}^2 ) = k e^2 ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;$

$v^2 - v_{ocm}^2 = \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;$

$v^2 = v_{ocm}^2 + \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;$

$v_{min}^2 = \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;$

положим, что   $R \sim 1 \$   метр.

$v_{min} = e \sqrt{ \frac{k}{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) } \ ;$

$1.6 \cdot 10^{-19} \cdot \sqrt{ \frac{ 9 \cdot 10^9 }{ 1.67 \cdot 10^{-27} } ( \frac{1}{ 10^{-15} } - \frac{1}{1} ) } \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot \sqrt{ \frac{ 3^2 \cdot 10^{36} }{ 1.67 } ( 10^{15} - 1 ) } \approx$

$\approx 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 3 \cdot 10^{18} \cdot \sqrt{ 6 \cdot 10^{14} } \approx 0.48 \cdot 2.45 \cdot 10^7 \approx 0.48 \cdot 2.45 \cdot 10^7 \approx 1.18 \cdot 10^7 \ ;$

$v_{min} \approx 1.18 \cdot 10^7 \$   м/с   $\approx 11 \ 800 \$   км/с.

Полученная скорость в 30 раз меньше скорости света, а это означает, что отношение классического расчёта энергии к релятивистскому составляет:

$( \frac{1}{ \sqrt{ 1 - ( \frac{1}{30} )^2 } } - 1 ) / \frac{1}{2}( \frac{1}{30} )^2 } \approx 1.000834 \ ,$

т.е. даёт относительную ошибку около 0.000834, или около 0.0834%, так что нет никакой неободимости производить корректировку расчётов, поскольку сокрости протонов для заданных условий малы, т.е. они - дорелятивистские.

ответ: $v_{min} \approx 11 \ 800 \$   км/с.