Если коротко, то в таких задачах (в которых тело покоится на наклонной плоскости, съезжает или поднимается по ней) составляющая силы реакции опоры по оси Y всегда будет равняться косинусу угла Н треугольника HIL, который получается, если продолжить начало вектора силы тяжести (mg) вверх, а из конца вектора силы реакции опоры (N) провести линию, параллельную оси Х и перпендикулярную продолжению начала mg. Причём косинус угла Н будет таким же, как и косинус угла B треугольника BAC, которым является сама наклонная плоскость. Это следует из подобия треугольников по прямому углу (угол L = углу С) и углам со взаимно перпендикулярными сторонами (стороны HI и HL угла Н перпендикулярны сторонам BA и BC угла В, и наоборот - стороны угла BA и BC угла В перпендикулярны сторонам HI и HL угла H).
Почему в формуле косинус, а не синус, и уж тем более не тангенс с котангенсом? Потому что раз треугольники подобны, то их стороны тоже подобны. Основание ВС наклонной плоскости - это прилежащий катет треугольника, которым она является. Значит, основанием треугольника HIL будет HL. А косинус по определению - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть - BC к BA и HL к HI. Вот поэтому косинус в формуле.
