Question

Вычислить по теории бора радиус третьей стационарной орбиты и скорость электрона на этой орбите для атома водорода.

Answer 1

ответ: $4.8*10^{-10}$ м

Объяснение:

Дано:

$n=3$

-----------

$r_{3}-?$

Согласно теории Бора на электрон который движется вокруг полностью ионизированного атомного ядра водорода, в состав которого входит лишь протон (другими словами просто вокруг протона), по четкой, стационарной, орбите, номером $n$ и радиусом $r_{n}$, центробежная сила $F$ действующая на электрон (в его СО(которую нельзя назвать инерциальной)) будет равна силе кулоновского взаимодействия $F_{el}$ между электронном и протоном.

Отсюда  $F=F_{el}$

$m_{e} \dfrac{v_{e} ^{2} }{r_{n} } = k\dfrac{|q_{e} ||q_{p} |}{r^{2} _{n} }$

Так как $|q_{e} |=|q_{p}|=|e|$, то $m_{e} \dfrac{v_{e} ^{2} }{r_{n} } = k\dfrac{|e|^{2} }{r^{2} _{n} }$

Т.к. $|a|^{2} =a^{2}$ при $a \in Z$, то $|e|^{2} =e^{2}$, отсюда

$m_{e} \dfrac{v_{e} ^{2} }{r_{n} } = k\dfrac{e^{2} }{r^{2} _{n} }$ ⇒ $m_{e}v_{e} ^{2}= k\dfrac{e^{2} }{r _{n} }$ ⇒ $v_{e} ^{2}= \dfrac{ke^{2} }{m_{e}r _{n} }$ (1)

Согласно правилу квантовых орбит (из всё той же теории Бора)

$m_{e} v_{e} r_{n} =n\dfrac{h}{2\pi }$ ⇒ $v_{e} = \dfrac{nh}{2\pi m_{e}r_{n}}$ ⇒ $v_{e}^{2} = \dfrac{n^{2} h^{2} }{4\pi^{2}m_{e}^{2}r_{n}^{2} }$ (2)

Прививая уравнения (1) и (2) получим

$\dfrac{ke^{2} }{m_{e}r _{n} }=\dfrac{n^{2} h^{2} }{4\pi^{2}m_{e}^{2}r_{n}^{2} }$ ⇒ $ke^{2} =\dfrac{n^{2} h^{2} }{4\pi^{2}m_{e}r_{n}}$

При $k=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0} }$

$\dfrac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0} } =\dfrac{n^{2} h^{2} }{4\pi^{2}m_{e}r_{n}}$ ⇒ $\dfrac{e^{2}}{ \epsilon_{0} } =\dfrac{n^{2} h^{2} }{\pi m_{e}r_{n}}$ ⇒ $r_{n} = \dfrac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m_{e}e^{2} }$

Отсюда, при $n=3$

$r_{3} = \dfrac{3^{2} *(6.63*10^{-34} )^{2}*8.85*10^{-12} }{3.14 *9.1 *10^{-31} *(-1.6*10^{-19}) ^{2}} \approx 4.8*10^{-10}$ м