Question

Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол альфа=30. по ней пускают снизу вверх камень, который достигает до вершины за t1=2c, после чего соскальзывает вниз в течение t2=4c/ чему равна длина наклонной плоскости l?

Answer 1

Дано:

α=30°;

t₁=2 c;

t₂=4 c;

_______

Найти: L

Изобразим все силы, действующие на камень (см. рисунок). При этом учтем влияние силы трения, так как нигде не указано что плоскость гладкая.

Запишем второй закон Ньютона для движения вверх и вниз:

$\displaystyle N=mgcos\alpha = F_{TP}=\mu N=\mu mgcos\alpha$ - на ось Оу для обоих случаев одинаков

$\displaystyle -mgsin\alpha -F_{TP}=-ma = -mgsin\alpha-\mu mgcos\alpha =-ma$ - на ось Ох для движения вверх

$\displaystyle -mgsin\alpha +\mu mgcos\alpha =-ma$ - на ось Ох для движения вниз.

Выразим отсюда ускорения камня:

$\displaystyle a_1=gsin\alpha +\mu gcos\alpha$ - вверх

$\displaystyle a_2=gsin\alpha -\mu gcos\alpha$ - вниз

Важно помнить, что оба ускорения направлены вдоль наклонной плоскости вниз. Запишем уравнения кинематики камня:

$\displaystyle v_x(t)=v_{0x}-a_1t=v_{0x}-(gsin\alpha+\mu g cos\alpha )t$ - скорость вверх

$\displaystyle x_1(t)=v_{0x}t-\frac{gsin\alpha +\mu g cos\alpha }{2}t^2$ - координата вверх

$\displaystyle x_2(t)=L-\frac{gsin\alpha-\mu gcos\alpha }{2}t^2$ - координата вниз

С учетом условий задачи:

$\displaystyle v_x(2)=0 = v_{0x}-10-17.32\mu=0$ - условие остановки в верхней точке

$\displaystyle x_1(2)=L= 2v_{0x}-10-17.32\mu=L$ - прохождение пути L вверх

$\displaystyle x_2(4)=0= L-40+69.28\mu=0$ - прохождение пути L вниз

Выразим L из последнего, а начальную скорость из первого уравнения и подставим во второе:

$\displaystyle L=40-69.28\mu$

$\displaystyle v_{0x}=10+17.32\mu$

$20+34.64\mu-10-17.32\mu=40-69.28\mu$

$\displaystyle 86.6\mu=30$

$\displaystyle \mu=0.346$

Искомая длина:

$\displaystyle L=40-69.28*0.346\approx16$ м

ответ: 16 м.