Question

Коэффициенты жёсткости двух пружин , соединённых последовательно, соответственно равны 10 и 30 н/м. к пружинам подвешен груз массой 50 г. найдите собственную частоту колебательной системы.

Answer 1

1. Определяем общую жёсткость получившейся пружины состоящей из 2-ух последовательно соединённых пружин: 
$k_{1/2}= \frac{k_1\cdot k_2}{k_1+k_2}= \frac{10\cdot 30}{10+30}= 7,5 \ \frac{H}{_M}$
2. Собственная частота колебаний будет:  $\nu = \frac{1}{T}$
где период колебаний  $T=2 \pi \cdot \sqrt{ \frac{m}{k_{1/2}} } =2\cdot 3,14\cdot \sqrt{ \frac{0,05}{7,5 }}\approx0,51276 \ c$
Откуда частота: $\nu= \frac{1}{0,51276} \approx 1,95023 \ c^{-1}$

Answer 2

Если растянуть пружины, связанные параллельно на некоторую длину L, то каждая из них будет испытывать одну и ту же внешнюю силу F. Одна пружина растянется на x(1) = x, а другая на x(2) = L–x. При этом будет верно, что:
k(1) x = k2 (L–x), откуда:
k(1) x = k2 L– k(2) x ;
( k(1) + k(2) ) x = k(2) L ;
x(1) = k(2) L / ( k(1) + k(2) ) ;
и x(2) = k(1) L / ( k(1) + k(2) ) ;
Если разделить силу F на общее удлиннение, то получится:
F/L = k(1) x(1) / L = k(1) k(2) / ( k(1) + k(2) ) = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ;
Это и будет составной коэффициент жёсткости:
k = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ;
Частота колебаний выразится общей формулой:
f = 1/(2п) √[k/m] ;
f = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;


Можно поступить и иначе:
Запишем второй закон Ньютона для системы:
[1] ma = k(1) x(1) = k(2) x(2) , из второго равенства:
x(2) = x(1) k(1) / k(2) , тогда:
x(1) + x(2) = x(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , и поскольку:
a = ( x(1) + x(2) )'' = x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , то подставим это выражение в первое равенство [1] :
m x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) = k(1) x(1) ;
x''(1) ( 1/k(1) + 1/k(2) ) = [1/m] x(1) ;
x''(1) = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] * x(1) ;
А поскольку общее решение x'' = w²x , то:
w² = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ;
w = 1 / √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ;
f = w/2п = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;

Посчитаем:
f = 1 / ( 2 * 3.14 √[ ( 1/10 + 1/30 ) 0.05 ] ) = √[ 150 ] / ( 2 * 3.14 ) = 1.95 Гц.