Question

*на гладком столе лежит доска массой m = 500 г, на краю которой покоится маленькая шайба массой m = 110 г (см. рисунок). коэффициент трения между шайбой и доской равен μ = 0,1. какую максимальную по модулю скорость vmax можно сообщить шайбе, чтобы пройдя по доске путь до уступа и обратно, она осталась на доске? длина доски до уступа равна l = 1 м. удар шайбы об уступ считайте абсолютно . ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2. ответ округлите до двух знаков после запятой.

Answer 1

Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух тел:

MV²/2 + mv²/2 = MU²/2 + mu²/2 ,
где V и U – ЗНАКОВЫЕ ПРОЕКЦИИ скоростей большого тела до и после соударения, а v и u – знаковые проекции скоростей до и после соударения малого тела.

MV + mv = MU + mu ;

M ( V² – U² ) =  m ( u² – v² ) ;

M(V–U) = m(u–v) ;

V + U = u + v ;

v–V = –(u–U) ;

|v–V| = |u–U| – итак, мы пришли к замечательному выводу: модуль скорости малого тела относительно большого ТОЧНО сохраняется.

К этому же выводу можно прийти и простыми рассуждениями, если перейти временно в инерциальную систему центра масс СЦМ. В СЦМ общий импульс равен нулю, т.е. модули скоростей двухчастной системы пропорциональны друг другу, а энергия сохраняется. Иначе говоря, энергия, пропорциональная сумме квадратов скоростей частей системы, а значит и просто – пропорциональная квадрату скорости любой из частей системы сохраняется! Стало быть, после упругого соударения должны сохраниться и модули скоростей частей системы в СЦМ. А раз скорости относительно СЦМ после соударения сохраняются по модулю и всё так же остаются противоположными, то значит их скорость относительно друг друга по модулю – ТОЧНО сохраняется.

Итак, после абсолютно упругого удара шайбы об уступ: скорости, как доски, так и шайбы – скачкообразно изменятся, ОДНАКО скорость шайбы ОТНОСИТЕЛЬНО ДОСКИ ТОЧНО сохранится по модулю и развернётся.

Будем считать, что движение шайбы всё время происходит в неинерциальной системе отсчёта, связанной с доской.

Для этого разберёмся, как параметры лабораторной системы (ЛСО) – связаны с нашей неинерциальной. В ЛСО движение шайбы происходит с ускорением a = –μg , при этом доска движется с противоположным ускорением [m/M]μg .

Таким образом, в неинерциальной СО, связанной с доской (далее СОД) ускорение шайбы: v' = –μg(1+m/M) ;

Когда скорость шайбы в СОД мгновенно разворачивается, сохраняясь по модулю – одновременно так же мгновенно разворачивается и ускорение в СОД.

Таким образом, в СОД – шайба всё время движется с одним и тем же ускорением v' = –μg(1+m/M), всегда направленным против скорости, которая изменяется без скачков по модулю (скачок отскока мы «сшили»).

В таком случае, поскольку всё происходит на длине S, не более чем 2L – справедлива кинематическая связь:

v²–0² = 2S|v'|< 2*2L|v'| ,     разность квадратов краевых скоростей равна удвоенному произведению ускорения и пути.

v² < 4Lμg (1+m/M) ;

v < 2√[Lμg(1+m/M)] ;

vmax = 2√[Lμg(1+m/M)] ≈ 2√[0.1g(1+110/500)] ≈ 2√[0.1g(61/50)] ≈
≈ 2√[12.2g/100] ≈ 2√[121/100] ≈ 2*11/10 ≈ 2.2 м/с ;

Хотя, вообще-то если посчитать на калькуляторе, в соответствии с обоими требованиями «до двух знаков после запятой» и «g = 10 м/с2», то:

vmax = 2√[Lμg(1+m/M)] ≈ 2√[1+110/500] ≈ 2.21 м/с .