Question

Имеется пружина с аномальной жесткостью так что смещается сила f пропорциальна кубу смещается x: f=-kx^3, причем k=1mh/м^3. на такую пружину подвешен груз массой 1кг .определите период малых колебаний груза относительно положения равновесия. можно записать решение +ответ и объясните как решили если не трудно .заранее

Answer 1

Ну попробуем! Итак, запишем второй закон Ньютона для такой системы (ось направим вниз)

$ma = mg-kx^3\\ mx'' = mg-kx^3$

Пусть x = q+x0, где x0 = коренькубический(mg/k) и это константа, тогда

$m(q+x_0)'' = mg-k(q+x_0)^3\\ q'' = mg-mg - 3kx_0&^2q-3kx_0q^2-kq^3\\ mq''+3kx_0^2q = -3kx_0q^2-kq^3$

Итак, для величины q, которая есть отклонение от положения равновесия мы получили ангармоническое уравнение колебаний. Вот теперь мы скажем, что если q мало, то можно пренебречь его старшими степенями в правой части уравнения. Тогда все становится просто

$q''+\frac{3kx_0^2}{m}q = 0$

Это обычное уравнение гармонических колебаний, множитель перед q - это квадрат угловой частоты, ну а период найдем элементарно (не забыв подставить x0)

$\omega = \sqrt{\frac{3kx_0^2}{m}} = \\\\\sqrt{\frac{3k}{m}(\frac{mg}{k})^{2/3}} = \sqrt{3\sqrt[3]{\frac{{g^2k}}{m}}} = \sqrt[6]{\frac{27kg^2}{m}}$

$T = 2\pi\sqrt[6]{\frac{m}{27kg^2}}$