Question

Из точки а, находящейся на шоссе, нужно наиболее быстро попасть в точку в, находящуюся в поле. расстояние от точки а до точки м(находящейся на линии, перпендикулярной к шоссе) равно 20 км. расстояние от точки м до точки в - 15 км. скорость автомобиля по шоссе - 62 км/ч, скорость автомобиля по полю - 30 км/ч. на каком расстоянии от точки в нужно съехать с шоссе?

Answer 1

Допустим, что нужно съехать в поле на расстоянии x км от точки М. Тогда по шоссе автомобиль проедет расстояние l1=20-x км, по полю - расстояние l2=√(x²+15²)=√(x²+225) км и затратит на это время t=l1/62+l2/30=(20-x)/62+√(x²+225)/30 ч. Нам нужно найти минимум функции t(x). Производная t'(x)=-1/62+x/(30*√(x²+225)). Приравнивая её нулю, приходим к уравнению -1/62+x/(30*√(x²+225))=0, или x/(30*√(x²+225))=1/62, или 30*√(x²+225)=62*x. Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение 900*(x²+225)=3844*x², или 2944*x²=202500. Отсюда x=√(202500/2944)≈8,3 км и l=√(x²+225)≈17,14 км. ответ: l≈17,14 км.