Question

Решить определить частоту v и период t колебаний однородного стержня длиной l=1,2 м около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку отстоящую на δl=l/12 от его конца.

Answer 1

При отклонении стержня на оси от ветикали на малый угол    $\varphi$    в системе возникает момент сил из-за гравитации.

Центр приложения силы тяжести отстоит от оси на:

$a = \frac{L}{2} - \Delta L = \frac{L}{2} - \frac{L}{12} = \frac{5}{12} L \ ;$

а ось приложения силы тяжести отстоит от оси вращения на:

$a \sin{ \varphi } .$

Стало быть модуль момента силы тяжести равен:    $mga \sin{ \varphi } .$

Из II-ого Закона Ньютона во вращательной форме:

$\varphi'' = - \frac{ mga \sin{ \varphi } }{ J } \ ;$
знак минус означает, что угол отклонения и угловое ускорение – разнонаправлены.

$J = J_o + ma^2 = \frac{mL^2}{12} + ma^2 = m ( \frac{L^2}{12} + a^2 ) \ ;$

При малых углах верно что:    $\sin{ \varphi } \approx \varphi \ ;$

$\varphi'' \approx - \frac{ ga }{ a^2 + L^2/12 } \cdot \varphi \ ;$

$\omega^2 \approx ga / ( a^2 + \frac{L^2}{12} ) \ ;$

$\omega^2 \approx g / ( a + \frac{L^2}{12a} ) = g / ( \frac{5}{12} L + \frac{L^2}{5L} ) = \frac{60g}{37L} \ ;$

$\nu = \frac{ \omega }{ 2 \pi } = \frac{1}{ \pi } \sqrt{ \frac{15g}{37L} } \ ;$

$\nu = \frac{1}{ \pi } \sqrt{ \frac{15g}{37L} } \approx \frac{1}{ \pi } \sqrt{ \frac{ 15 \cdot 9.8 }{ 37 \cdot 1.2 } } \approx \frac{7}{ \pi } \sqrt{ \frac{5}{74} } \approx 0.579$    Гц ;

$T = \frac{1}{ \nu } = \pi \sqrt{ \frac{37L}{15g} } \approx \pi \sqrt{ \frac{37 \cdot 1.2}{15 \cdot 9.8} } \approx \frac{ \pi }{7} \sqrt{ 14.8 } \approx 1.73$    сек .