Question

Решить, , : частица массой m с положительным зарядом q находится в однородных электрическом и магнитном полях, напряжонность электрического поля e. линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля. в начальный момент частице сообщают скорость v0, направленную под углом a к линиям индукции. через некоторое время частица возвращается в начальную точку. определите это время. найдите индукцию магнитного поля b, при которой возвращение в начальную точку возможно

Answer 1

Прежде всего отметим, что скорость частицы должна быть направлена под тупым углом к полю, иначе частица улетит от начальной точки.
Частица будет участвовать в двух движениях, из-за двух разных сил, действие которых "не пересекается".
Во-первых, кулоновская сила действует параллельно полям E (и B по условию) и изменяет проекцию скорости НА поля, не трогая перпендикулярную
Во-вторых, сила Лоренци действует перпендикулярно полям B (и Е по условию) и пропорциональна проекции скорости на плоскость, перпендикулярную полям E и B (но не меняет ее).
Таким образом, частица будет двигаться сначала против поля, а затем повернет и будет двигаться по полю. Когда она пройдет вдоль поля столько же, сколько против него, она должна совершить целое число оборотов по окружности, тогда она попадет ровно в исходную точку.
Найдем время полета туда обратно, из изменения скорости (скорость вдоль поля просто сменит знак, как в случае с телом, брошенным вверх с поверхности земли и вернувшимся назад)
$\displaystyle \tau = \frac{|\Delta v|}{a} = \frac{|-v\cos\alpha-v\cos\alpha|}{qE/m} = \frac{2vm\cos\alpha}{qE}$

Теперь определим допустимые значения B. Найдем период обращения частицы по окружности (из-за силы Лоренца)
$\displaystyle m\frac{v^2\sin^2\alpha}{R} = qvB\sin\alpha\\\\ R = \frac{mv\sin\alpha}{qB}\\\\ T = \frac{2\pi R}{v\sin\alpha} = \frac{2\pi m}{qB}$
Как и ожидалось, период не зависит от скорости частицы и радиуса вращения, потому что циклотронная частота зависит только от величины поля и отношения заряда частицы к массе. Имеем

$\displaystyle \frac{2vm\cos\alpha}{qE} = n\frac{2\pi m}{qB}\\\\ B = E\frac{\pi n}{v\cos\alpha} \geq E\frac{\pi}{ v \cdot 1} = \frac{\pi E}{v}$

Вот мы и нашли минимальное допустимое B. Если индукция магнитного поля будет меньше этой величины, тело не успеет совершить даже одного полного оборота по окружности за время полета против и вдоль поля, под каким бы углом оно ни было запущено