Question

Много тело массы m, после свободного падения с некоторой высоты попадает в водоём глубиной l, ударяется о дно и останавливается на половине глубины. с какой высоты h падало тело? средняя плотность тела равна плотности воды, изменение скорости при ударе о воду и силой сопротивления движению в воздухе пренебречь. силу сопротивления движению в воде принять в виде f = -k*v, коэффициент k считать известным. (v-скорость) желательно с подробным решением.

Answer 1

Уравнение движения тела в воде:

$a = -\frac{k}{m}v \ ;$

Знак минус отражает противоположность силы сопротивления в воде (и соответствующего ускорения) – направлению движения.

Домножим всё на малое приращение времени:    $\Delta t \to 0 ,$    в течение которого скорость и ускорение можно считать неизменными:

$a \Delta t = -\frac{k}{m}v\Delta t \ ;$

$\Delta v = -\frac{k}{m}\Delta s \ ;$

Раз любое малое приращение скорости в воде пропорционально соответствующему приращению пути, то и всё изменение скорости пропорционально всему подводному пути. При этом при упругом ударе скорость не меняется по модулю, а меняет лишь направление, при этом направление вектора скорости относительно (!) направления траектории, очевидно, остаётся неизменно сонаправленным. Так что всё движение в воде можно рассматривать, как движение на дистанцию    $\frac{3}{2} L \ \ :$

$v_o - 0 = -\frac{k}{m} ( 0 - \frac{3}{2} L ) \ ;$

$v_o = \frac{3k}{2m} L \ ;$

С другой стороны, с точки зрения кинематики равноускоренного движения в воздухе: изменение квадрата скорости равно удвоенному произведению пути и ускорения:

$v_o^2 - 0 = 2gH \ ;$

$v_o^2 = 2gH = ( \frac{3k}{2m} L )^2 \ ;$

$H = \frac{9}{8g} ( \frac{kL}{m} )^2 \ ;$    это ответ.