Question

99 ! два тела движутся на расстоянии 10 м. друг от друга со скоростью 5м/c по горизонтальной поверхности. каким будет расстояние между телами после безотрывного спуска с горки высотой 2 м.? трения нет. переход с горки и на горку плавный. ускорение свободного падения принять 10 м/с^2

Answer 1

Давайте внимательно посмотрим на графики изменения скорости первой и второй точки от времени. Эти графики будут выглядеть совершенно одинаково с той лишь разницей, что график движения второго тела будет отставать по времени от графика движения первого тела на 

Δt = S / v₀ = 10 / 5 = 2с

На приложенном рисунке красная линия - это скорость первого тела, а синяя - скорость второго. Обе скорости увеличиваются до некой финальной скорости, причем характер зависимости нам неизвестен, известно лишь что зависимости одинаковы. Также из закона сохранения энергии мы можем найти конечную скорость

$mv_1^2/2 = mv_0^2/2 + mgH\\\\ v_1 = \sqrt{v_0^2+2gH}$

Очевидно, что в конце и в начале движения тела проходят равные пути за равное время, потому что площади под графиками скорости одинаковы до горки и после горки. Однако, за все время движения первое тело пройдет путь больший, чем второе. И эта разность путей - это площадь в петле между красной и синей линией.

Об этой петле мы знаем ее "высоту" (v₁-v₀), а кроме того знаем, что любое ее горизонтальное сечение имеет длину Δt. Согласно принципу Кавальери, площадь этой криволинейной фигуры будет равна площади прямоугольника с той же высотой и длиной.

Комментарий: эта криволинейная фигура сложена из многих-многих отрезочков длиной Δt, образующих "стопку" высотой (v₁-v₀). Эту стопку можно получить, "сдвинув" отрезочки, образующие такой же прямоугольник. Как профиль колоды карт, которая была уложена прямоугольно, но затем верхние карты были сдвинуты. Это поменяло форму колоды, но не площадь ее профиля.

Итак, конечное расстояние будет равно начальному + площадь петли, так что

$\displaystyle S_1 = S + (v_1-v_0)\Delta t = S + (v_1-v_0)S/v_0 = S\frac{v_1}{v_0} = \\\\=S\sqrt{1+2gH/v_0^2} = 10\sqrt{1+40/25}\approx16.1$

Конечное расстояние 16.1 метр и не зависит от профиля горки.