Question

Две самоходные баржи равномерно движутся перпендикулярно друг другу по озеру. скорость первой v1=3м/с, v2=4м/с. на баржах установлены измерители скорости ветра. из измерений получилось, что на первой барже скорость ветра не привышала v1, а на второй v2. вопросы: 1)max скорость ветра относительно озера? ; 2) какой угол составляла скорость первой баржи с направлением ветра, когда скорость ветра была max относительно озёра?

Answer 1

При сложении относительной скорости ветра со скоростью баржи получается собственная скорость ветра. Это показано на иллюстрации к решению задачи векторами    $\overline{ V }_{Bmp}$    и    $\overline{ V }_{omH} \ .$

Легко понять, что множество таких возможных векторов скорости ветра    $\overline{ V }_{Bmp}$    ограниченно окружностью радиуса    $V_1$    с центром в конце вектора    $\overline{ V }_1 \ .$

Аналогично можно понять, что множество тех же возможных векторов скорости ветра    $\overline{ V }_{Bmp}$    ограниченно окружностью радиуса    $V_2$    с центром в конце вектора    $\overline{ V }_2 \ .$

Откуда видно, что максимальная скорость ветра    $\overline{ V }_{max}$    определяется условиями, наложенными на множество точек возможных векторов. И её значение можно найти геометрически из прямоугольных треугольников.

Гипотенуза    $| \Delta \overline{ V } |$    прямоугольного треугольника с катетами    $V_1$    и    $V_2$    равна пяти.

$| \Delta \overline{ V } | = \sqrt{ V_1^2 + V_2^2 } \ ;$

Двойная площадь этого треугольника равна:

$2S = V_1 V_2 \ ;$

С другой стороны двойная площадь этого треугольника равна произведению гипотенузы на половину искомого вектора максимальной скорости ветра (являющуюся высотой к гипотенузе):

$2S = V_1 V_2 = \frac{V_{max}}{2} \cdot | \Delta \overline{ V } | \ ;$

$V_{max} = \frac{ 2 V_1 V_2 }{ \sqrt{ V_1^2 + V_2^2 } } = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 1/V_1^2 + 1/V_2^2 } }$    –  средне-квадратично-гармоническое.

Угол между баржей и максимальным ветром найдём из того же прямоугольного треугольника, через угол между красным катетом и высотой, который из подобия равен углу между векторами    $\overline{V}_2$    и гипотенузой    $\Delta \overline{ V }$    

$tg{ \varphi } = \frac{V_1}{V_2} \ ;$

1)    $V_{max} = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 1/V_1^2 + 1/V_2^2 } } \approx \frac{ 2 }{ \sqrt{ 1/9 + 1/16 } } = 4.8$   м/с

2)    $\varphi = arctg{ \frac{V_1}{V_2} } \approx arctg{ \frac{3}{4} } \approx 36^o 52' \ .$