Question

Маленький груз, подвешенный вертикально на лёгкой нерастяжимой нити, отвели в положение, при котором нить горизонтальна, и отпустили без начальной скорости. найти ускорение груза в момент, когда оно горизонтально. ускорение свободного падения принять равным g=10м/c2.

Answer 1

Пусть в искомый момент нить составляет угол альфа с вертикалью, тогда из закона сохранения энергии можно сделать вывод, что

$mv^2/2 = mgL\cos\alpha$

Где L - длина нити, v - скорость шарика в этот момент времени

Центростремительное ускорение груза мы найдем без труда

$a_n = v^2/L = mv^2/(mL) = 2mgL\cos\alpha/(mL) = 2g\cos\alpha$

Тангенциальное ускорение обеспечивается только силой тяжести (сила натяжения нити нормальна к траектории), поэтому из второго закона Ньютона

$a_\tau = g\sin\alpha$

Так как полное ускорение направлено горизонтально, мы вынуждены заключить, что сумма проекций ускорений на вертикальную ось y равна 0.

$\dislpaystyle (a_n)_y+(a_\tau)_y = 0\\ -(2g\cos\alpha)\cos\alpha+(g\sin\alpha)\sin\alpha = 0\\ \tan^2\alpha = 2\\ \cos\alpha = 1/\sqrt{1+\tan^2\alpha} = \sqrt{3}/3\\ \sin\alpha = \sqrt{6}/3$

Искомый угол найден. Чтобы найти ускорение, сложим горизонтальные проекции тангенциального и нормального ускорения

$a = (a_n)_x+(a_\tau)_x = (2g\cos\alpha)\sin\alpha+(g\sin\alpha)\cos\alpha = \\\\ =3g\sin\alpha\cos\alpha = 3g\sqrt{18}/9 = g\sqrt{2}$