Question

Решить по . воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным скоростям, определить, какая доля молекул кислорода, находящегося при температуре имеет скорости от 100 до 110 м/с.

Answer 1

Введем обозначение

$v_0^2 = kT/m = RT/\mu$

Тогда распределение Максвелла

$\displaystyle f(v) = \frac{4\pi (v/v_0)^2}{(2\pi)^{3/2}v_0}\exp(-v^2/(2v_0^2))$

Доля молекул находится интегрированием

$n = \int\limits_{v_1}^{v_2}f(v)dv = \int\limits_{v_1}^{v_2}\frac{4\pi (v/v_0)^2}{(2\pi)^{3/2}v_0}\exp(-v^2/(2v_0^2))dv =\\= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_{x_1}^{x_2}x^2e^{-x^2/2}dx$

Здесь икс - это безразмерная скорость (нормированная на v0) 

В нашем случае температура в условии задачи безнадежно потеряна, поэтому будем считать, что она равна 300 К. Тогда v0 примерно 780 м/с, соответственно x1 = 0.128, x2 = 0.141. Интеграл можно взять численно (я пользовалась вольфрамом)

ответ

$n = \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\int\limits_{0.128}^{0.141}x^2e^{-x^2/2}dx \approx 0.0002$