Question

Астрономы установили, что ускорение свободного падения на поверхности одной из экзопланет составляет 6 м/с^2. радиус планеты равен 5700 км. с какой скоростью будет вращаться спутник по круговой орбите вокруг этой планеты на высоте 300 км над ее поверхностью?

Answer 1

Закон всемирного тяготения:
$F=G\dfrac{mM}{r^2}$

Сила тяжести на расстоянии r от центра выражается формулой $F=mg(r)$, значит,
$g(r)=\dfrac{GM}{r^2}$

Если на расстоянии R (R — радиус планеты) ускорение свободного падения равно g0, то на высоте h оно будет равно
$g(R+h)=\dfrac{GM}{R^2}\cdot\dfrac{R^2}{(R+h)^2}=\dfrac{g_0 R^2}{(R+h)^2}$

Скорость находим из условия, что если тело движется по окружности радиуса R + h со скоростью v, то его центростремительное ускорение должно быть
$g=\dfrac{v^2}{R+h}$

$\dfrac{v^2}{R+h}=\dfrac{g_0 R^2}{(R+h)^2}\\ v^2=\dfrac{g_0R^2}{h+R}\\ v=\sqrt{\dfrac{g_0R^2}{h+R}}=\sqrt{\dfrac{6\text{ m/s$^2$}\cdot(5.7\cdot10^6\text{ m})^2}{6\cdot10^6\text{ m}}}=5.7\cdot10^3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

ответ. v = 5,7 км/с