Дано:
v = 0,5*V(1-я косм.)
h - ?
Есть формула для центростремительного ускорения:
a = V²/R
Вместо "a" используем ускорение свободного падения:
g = V²/R
Выражая из этой формулы V, получим формулу для первой космической скорости:
V² = gR
V = √(gR), где g - это примерно 9,8 м/с², а R - радиус Земли.
По условию скорость спутника в 2 раза меньше первой космической:
v = 0,5*V(1-я косм.), значит:
v = 0,5*√(gR) - поместим 0,5 под корень:
v = √(0,5²*gR)
C другой стороны есть формула закона всемирного тяготения:
Fтяг = GMm/R², где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, а R - её радиус. Приравняем эту формулу к формуле силы тяжести (т.к. обе, по сути, описывают одно и то же явление, хоть сила тяжести и является частным случаем силы тяготения):
Fтяг = Fтяж
GMm/R² = mg - разделим обе части на "m"
GM/R² = g - это уравнение для "g". Подставим его в выражение для скорости спутника:
v = √(0,5²*gR) = √(0,5²*(GM/R²)R) = √(0,5²*GM/R) - очевидно, что ни к G, ни к M значение 0,5² не может относится, т.к. G - это постоянная, а M - масса Земли, которая вряд ли ни с того ни с сего уменьшилась. Тогда остаётся только радиус. Но земной радиус тоже не может уменьшаться или увеличиваться из-за того, что какой-то спутник летает вокруг Земли. Поэтому вернёмся к формуле для "g":
g = GM/R² - это g, которое у самой поверхности Земли. Чем дальше от поверхности, тем больше становится расстояние, и тем меньше становится g. Получается, что для тел, которые находятся на уже значительном расстоянии от Земли, один лишь радиус использовать нельзя - надо использовать сумму радиуса и высоты:
g = GM/(R + h)² - именно эту формулу мы используем для выражения скорости спутника:
g = v²/(R + h)
v² = g*(R + h)
v = √(g*(R + h)) = √((GM/(R + h)²)*(R + h)) = √(GM/(R + h))
и приравняем её к формуле для половины первой космической скорости, только теперь уже не будем помещать 0,5 под корень:
√(GM/(R + h)) = 0,5√(GM/R) - теперь можно выразить h и найти значение:
√(GM/(R + h)) = 0,5√(GM/R)
√(GM)/√(R + h) = 0,5√(GM)/√R | : √(GM)
1/√(R + h) = 0,5/√R
√(R + h) = 1/(1/(2√R)) | ² - возведём обе части в квадрат
R + h = 4R
h = 4R - R = 3R
Радиус Земли примерно равен 6400 км, тогда:
h = 3R = 3*6400 = 19200 км или 1,92*10^7 м
Проверим:
Масса Земли примерно равна 6*10^(24) кг, тогда:
v = √(GM/(R + h)) = √(6,67*10^(-11)*6*10^(24) / (6,4*10^6 + 1,92*10^7)) = √(6,67*6*10^(13) / (6,4*10^6 + 19,2*10^6)) = √(40,02*10^(13) / (10^6*(6,4 + 19,2))) = √(40,02*10^7/25,6) = 3953,835163 = 3954 м/с
V(1-я косм.) = 0,5√(GM/R) = 0,5*√(6,67*10^(-11)*6*10^(24)/6,4*10^6) = 0,5*√(40,02*10^7/6,4) = 0,5*7907,6703... = 0,5*7908 = 3954 м/с
Всё сходится.
ответ: 19200 км или 1,92*10^7 м.
Ти вже знаєш, що речовини можуть перебувати у твердому, рідкому та газоподібному станах. Вони утворюють тверді, рідкі й газуваті тіла, які відрізняються своїми властивостями. Наприклад, лід —твердий і крихкий, вода — текуча, а водяна пара — невидима. Усі ці тіла складаються з одних І тих самих частинок, однак за властивостями відрізняються. Чому ж так?
Між частинками будь-якої речовини, як би щільно вони не розташовувались одна біля одної, завжди є проміжки.
Розглянь малюнок, на якому кульками різних кольорів умовно зображені частинки речовин, що утворюють тверде, рідке і газувате тіла. Зверни увагу на відстані між частинками.
У твердих тілах відстані між частинками дуже малі, у рідинах — більші, а в газах — іще більші.
Розглянь ілюстрації. Опиши металеву кульку, кубик льоду та воскову свічку за формою, кольором, прозорістю, розміром, об'ємом. Назви їх спільні та відмінні ознаки.
Металева кулька, кубик льоду та воскова свічка — тверді тіла, що за зовнішніми ознаками відрізняються одне від одного. Проте в них є спільна властивість, завдяки якій їх називають твердими тілами: вони зберігають свою форму І об'єм.
Чи можна змінити форму твердого тіла? Можна, але для цього потрібно докласти певних зусиль. Якщо ти вдариш молоточком по металевій кульці, кубикові льоду І восковій свічці, то побачиш, як вплинуть твої дії на кожне тверде тіло. Лід розбився — отже, це крихке тіло. Воскова свічка від удару деформувалася і набула нової форми — вона є пластичним тілом. Металева кулька залишилася такою, як була. Очевидно, щоб змінити її форму, треба докласти більше зусиль.
Розглянь ілюстрації. Опиши рідини за формою, кольором, прозорістю, об'ємом. Що спільного в цих рідин? Чим вони відрізняються?
Олія, молоко, сік— рідини. Вони відрізняються за кольором, прозорістю, об'ємом, а також за смаком і запахом. Проте в них є спільна властивість, завдяки якій їх називають рідинами: вони текучі, тому легко змінюють свою форму, але здатні зберігати об'єм.
Щоб переконатися в цьому, проведи дослід.
Розглянь склянку з водою. Яку форму має вода? Перелий воду зі склянки у прозору вазу, а потім — у глибоку тарілку гай, чи змінюються форма та об'єм води. Ти побачиш, що вода кожного разу повторює форму посудини, в яку її перелили, а об'єм води залишається сталим.
Наведи приклади газів. Поміркуй, чи зберігають гази форму й об'єм.
Гази заповнюють об'єм і набирають форми тієї посудини, приміщення чи тіла, в якому вони знаходяться. Прикладами можуть бути повітряна кулька, футбольний м'яч, закрита колба, кімната.
Досліди властивості газів на прикладі повітря.
Дослід 1. Надуй повітряну кульку (не сильно) і зав'яжи отвір ниткою. Якої форми набула кулька? Спробуй пояснити, чому.
Отже, гази заповнюють увесь наданий їм об'єм і не зберігають форми.
Дослід 2. Спробуй стиснути руками легко надуту повітряну кульку. Чи вдалося це тобі? На відміну від твердих тіл і рідин, гази легко піддаються стисненню.
Чи змінилися форма і об'єм кульки? Так, форма змінилась, об'єм зменшився —отже, об'єм повітря в кульці також зменшився. Відпусти руку. Що відбулося з повітрям у кульці? Кулька відновила свою форму та об'єм — отже, й об'єм повітря збільшився.
Поміркуйте! Порівняйте властивості водяної пари й льоду. Що спільного між ними? Чим вони відрізняються?
Обговоріть! Чому рідини і гази легко змінюють свою форму, а тверді тіла — ні?
Текучість.
Перевір свої знання
1. Наведи приклади твердих тіл. Які властивості їм притаманні?
2. Охарактеризуй властивості рідин.
3. Які властивості притаманні газам?
4. У наведеному Дмитриком переліку знайди зайве слово: молоко, олія, нафта, ртуть, склянка, сік. Обґрунтуй свою думку.
5. У яких тілах відстані між частинками найменші, а в яких — найбільші?