Question

Скакой наименьшей начальной скоростью нужно бросить камень, чтобы попасть в цель, расположенную на высоте 15 м и на расстоянии 20 м по горизонтали от точки бросания? значение g принять равным 10 м/с2

Answer 1

Задача на бросок под углом к горизонту. Уравнения движения камня:

$x = V_0tcos\alpha\\ y = V_0tsin\alpha - \frac{gt^{2}}{2}$

По условию, траектория камня проходит через точку с координатами $x$ = 20 и $y$ = 15.

Имеем систему:

$\left \{ {{V_0tcos\alpha=20} \atop {V_0tsin\alpha-\frac{gt^2}{2}=15}} \right.$

Из первого уравнения выразим время $t$ и подставим во второе уравнение:

$\left \{ {{t = \frac{20}{V_0cos\alpha}} \atop {\frac{20V_0sin\alpha}{V_0cos\alpha}}-\frac{20^2g}{2V_0^2cos^2\alpha} = 15} \right.$

Преобразуем второе уравнение:

$\left \{ {{t = \frac{20}{V_0cos\alpha}} \atop 20tg\alpha-\frac{200g}{V_0^2cos^2\alpha} = 15}$

Из второго уравнения несложно выразить $V_0^2$:

$V_0^2 = \frac{200g}{(20tg\alpha-15)cos^2\alpha} = \frac{200g}{20tg\alpha*cos^2\alpha-15cos^2\alpha}$ (&)

Для того, чтобы $V_0^2$ было наименьшим, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части принимал как можно большее значение, так как величина числителя фиксирована.

Заметим, что $tg\alpha *cos^2\alpha = sin\alpha *cos\alpha = \frac{1}{2} sin2\alpha$, а также $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$ (формулы двойного угла).

Тогда

$20tg\alpha*cos^2\alpha-15cos^2\alpha = 10sin2\alpha - 15(\frac{1+cos2\alpha}{2} ) = 10sin2\alpha - 7,5cos2\alpha - 7,5 = \sqrt{10^2+7,5^2} sin(2\alpha +\phi) - 7,5$

(в последнем переходе воспользовались формулой вс аргумента).

Понятно, что максимальное значение $sin(2\alpha +\phi)$ это 1. Тогда максимальное значение выражения $\sqrt{10^2+7,5^2} sin(2\alpha +\phi) - 7,5$ есть $\sqrt{10^2+7,5^2} - 7,5 = 5$.

Возвращаясь к выражению (&), имеем:

$V_{0,min}^2 = \frac{200g}{5} = \frac{200*10}{5} = 400$, отсюда $V_{0,min} = 20$ м/с.