Question

Точка совершает синусоидальные свободные колебания.начальное отклонение равно нулю, начальная скорость 10 м/с, период 1с. найти амплитуду и начальную фазу.

Answer 1

Для решения задачи о синусоидальных свободных колебаниях, нам понадобятся следующие уравнения:

1. Уравнение для синусоидальных колебаний:
x = A * sin(wt + φ)

где:
x - положение точки на синусоиде,
A - амплитуда колебаний,
w - угловая частота колебаний,
t - время,
φ - начальная фаза.

2. Уравнение для скорости при синусоидальных колебаниях:
v = Aw * cos(wt + φ)

где:
v - скорость точки,
A - амплитуда колебаний,
w - угловая частота колебаний,
t - время,
φ - начальная фаза.

3. Уравнение для ускорения при синусоидальных колебаниях:
а = -Aw^2 * sin(wt + φ)

где:
а - ускорение точки,
A - амплитуда колебаний,
w - угловая частота колебаний,
t - время,
φ - начальная фаза.

Теперь, когда мы знаем уравнения, можем перейти к решению задачи.

Период колебаний равен 1 с, следовательно, угловая частота w будет равна:
w = 2π / Т,
где (2π) - это полный оборот в радианах.

w = 2π / 1 = 2π рад/с.

Известно, что начальное отклонение равно нулю, поэтому x = 0.

Чтобы найти амплитуду А, подставим значения в уравнение синусоидальных колебаний:
0 = A * sin(2πt + φ)

Так как sin(0) = 0, выражение в скобках должно быть равно нулю для любого t, чтобы x = 0.

2πt + φ = 0

φ = -2πt

Значит, начальная фаза φ равна -2πt.

Нам также известна начальная скорость v = 10 м/с.
Для нахождения амплитуды А, подставим значения в уравнение скорости:

10 = A * (2π) * cos(2πt + φ)

Если применим тригонометрический идентификатор cos(α) = sin(α + π/2), то получим:

10 = A * (2π) * sin(2πt + φ + π/2)

Скобку внутри синуса раскроем:

2πt + φ + π/2 = 0

Так как π/2 = 2π/4, то выражение можно записать как:

2πt + φ + 2π/4 = 0

Упростим:

2πt + φ + π/2 = 0

φ = -2πt - π/2

Таким образом, начальная фаза φ равна -2πt - π/2.

Итак, мы получили, что амплитуда А равна 10/(2π) и начальная фаза φ равна -2πt - π/2.