В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.
Определение средней скорости
Средней скоростью движения \upsilon_{cp} тела называется отношение пути s, пройденного телом, ко времени t, в течение которого двигалось тело:
\[ \upsilon_{cp} = \frac{s}{t}. \]
Научимся ее находить на примере следующей задачи:
Тело двигалось 3 мин. со скоростью 5 м/с, после чего 7 мин. двигалось со скоростью 3 м/с. Найти среднюю скорость движения тела.
Переведем все величины в Международную систему единиц СИ. В этой системе единицей измерения времени является секунда. Следовательно, тело двигалось на первом участке пути в течение t_1 = 3\cdot 60 = 180 с, а на втором участке пути в течение t_2 = 7\cdot 60 = 420 с.
Найдем теперь полный путь, пройденный телом. На первом участке тело м пути. На втором участке пути тело м пути. Следовательно, общий пройденный телом путь составляет s = s_1 + s_2 = 2160 м.
Общее время движения составляет t = t_1+t_2 = 600 с. Следовательно, средняя скорость движения тела составляет:
\upsilon_{cp} = \frac{s}{t} = 3.6 м/с.
Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей \upsilon_1 и \upsilon_2, которое равно:
\frac{\upsilon_1+\upsilon_1}{2} = 4 м/с.
Частные случаи нахождения средней скорости
1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью \upsilon_1, а вторую половину пути — со скоростью \upsilon_2. Требуется найти среднюю скорость движения тела.
Пусть s — общая длина пройденного пути. Тогда на первом участке пути тело двигалось в течение интервала времени t_1 = \frac{s}{2\upsilon_1}. Аналогично, на втором участке пути тело двигалось в течение интервала времени t_2 = \frac{s}{2\upsilon_2}.
Тогда средняя скорость движения равна:
\[ \upsilon_{cp} = \frac{s}{t_1+t_2} = \frac{s}{\frac{s}{2\upsilon_1}+\frac{s}{2\upsilon_2}} = \frac{2\upsilon_1\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}. \]
2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью \upsilon_1 в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью \upsilon_2 в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.
Пусть t — общее время пути. Тогда путь, пройденный телом в течение первой половины времени движения, равен: s_1 = \upsilon_1\frac{t}{2}. Аналогично, путь, пройденный телом в течение второй половины времени движения, равен: s_2 = \upsilon_2\frac{t}{2}.
Тогда средняя скорость движения равна:
\[ \upsilon_{cp} = \frac{s_1+s_2}{t} = \frac{\upsilon_1\frac{t}{2}+\upsilon_2\frac{t}{2}}{t} = \frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}. \]
Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей \upsilon_1 и \upsilon_2 на двух участках пути.
Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике в году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.
Тело двигалось t = 20 с, и средняя скорость движения \upsilon_{cp} составила 4 м/с. Известно, что за последние t_2 = 4 с движения средняя скорость этого же тела \upsilon_{cp2} составила 10 м/с. Определите среднюю скорость тела \upsilon_{cp1} за первые t_1 = 16 с движения.
Пройденный телом путь составляет: s = \upsilon_{cp}t = 80 м. Можно найти также путь, который тело за последние t_2 = 4 с своего движения: s_2 = \upsilon_{cp2}t_2 = 40 м. Тогда за первые t_1 = 16 с своего движения тело преодолело путь в s_1 = s-s_2 = 40 м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
1. Дано:
T₁ = 0 °C
m₁ = 0,8 кг
m₂ = 100 г = 0,1 кг
Tк = 100 °С
T₂ = 30 °C
c = 4200 Дж/(кг*°C)
λ = 330000 Дж/кг
L = 2260000 Дж/кг
m₃ - ?
Теплота водяного пара, выделяемая при его конденсации, а также теплота, которую выделяет при остывании сконденсировавшаяся вода, пойдёт на увеличение внутренней энергии воды, льда и расплавленного льда. В итоге вся система должна иметь температуру 30 °С. Уравнение теплового баланса будет таким:
Qп + Qв' = Qв + Qл + Qл'
Qп = Lm₃
Qв' = сm₃|ΔT| = сm₃|T₂ - Tк| = cm₃(Tк - T₂)
Qв = сm₁ΔT = cm₁(T₂ - T₁)
Qл = λm₂
Qл' = сm₂ΔT = cm₂(T₂ - T₁)
Lm₃ + cm₃(Tк - T₂) = cm₁(T₂ - T₁) + λm₂ + cm₂(T₂ - T₁)
m₃*(L + c*(Tк - T₂)) = c(T₂ - T₁)*(m₁ + m₂) + λm₂
m₃ = (c(T₂ - T₁)*(m₁ + m₂) + λm₂) / (L + c*(Tк - T₂)) = (4200*(30 - 0)*(0,8 + 0,1) + 330000*0,1) / (2260000 + 4200*(100 - 30)) = 0,05732... = 57 г
ответ: примерно 57 грамм.
2. Дано:
N = 9
h = 3 м
m = 900 г = 0,9 кг
M = 3 кг
Q(ж) = 0,25*Q
с(ж) = 460 Дж/(кг*°С)
g = 10 м/с²
ΔT - ?
При падении молотка вся его механическая энергия перейдёт во внутреннюю энергию молотка и пластины, то есть - в тепло:
E = Q
В начальный момент механическая энергия молотка равна его потенциальной:
Е = Еп = mgH, где H = h*N
В момент удара о земную поверхность механическая энергия молотка равна его кинетической (по закону сохранения механической энергии - предполагается, что силы сопротивления и трения воздуха не действуют):
Е = Ек => Eк = Еп = Е =>
=> Q = Еп = mghN
Теплота, которая пошла на нагрев железной пластины, равна:
Q(ж) = cMΔT => 0,25*Q = cMΔT =>
=> 0,25*mghN = cMΔT =>
=> ΔT = 0,25*mghN/(cM) = 0,25*0,9*10*3*9/(460*3) = 0,044021... = 0,04 °С
ответ: примерно на 0,04 °С.